Персональный портативный вычислитель числовых рядов

Техническое решение относится к средствам для автоматизации математических расчетов в учебном процессе, и предназначено для использования в учебных заведениях и для самообразования. Техническое решение направлено на решение технической задачи, заключающейся в создании персонального портативного средства для вычисления числовых рядов, которое может быть полезным, а в некоторых случаях необходимым для решения алгебраических уравнений, включая квадратные, биквадратные, кубические, четвертой степени, в том числе рациональные, иррациональные и показательные, а также решения неопределенных уравнений методом численного моделирования профессора К.Н.Шихаева, когда в исходные уравнения вводятся числа из состава специальных числовых рядов, что дает возможность решать не только уравнения школьного курса, но и сложные уравнения. Персональный портативный вычислитель числовых рядов, содержит устройство для управления работой вычислителя числовых рядов, процессор, предназначенный для работы с числовыми рядами, запоминающее устройство для хранения числовых рядов, и устройство ввода-вывода данных, связанные

своими входами-выходами, при этом процессор содержит первый накапливающий сумматор и второй накапливающий сумматор, связанные последовательно, причем данный процессор выполнен с возможностью формирования выходного кода процессора из выходного кода первого накапливающего сумматора и/или выходного кода второго накапливающего сумматора. Техническое решение позволяет снизить рутинную вычислительную нагрузку на обучаемого.

Техническое решение относится к средствам для автоматизации математических расчетов в учебном процессе, и предназначено для использования в учебных заведениях и для самообразования.

Техническое решение направлено на решение технической задачи, заключающейся в создании персонального портативного средства для вычисления числовых рядов, которое может быть использовано для решения алгебраических уравнений, включая квадратные, биквадратные, кубические, четвертой степени, в том числе рациональные, иррациональные и показательные, а также решения неопределенных уравнений методом профессора К.Н.Шихаева.

Вычислитель числовых рядов целесообразно использовать отдельно или в составе обучающей системы из-за того, что основная нагрузка на учащихся при решении алгебраических уравнений повышенной сложности численным моделированием по методу профессора К.Н.Шихаева заключается в выборе (моделировании) чисел из числовых рядов, образующих численные модели исходных уравнений, приводящие к их элементарному решению.

Аналоги персонального портативного вычислителя

числовых рядов в уровне техники не выявлены.

Технический результат данного технического решения заключается в реализации персонального портативного вычислителя числовых рядов.

Технический результат достигается благодаря тому, что персональный портативный вычислитель числовых рядов содержит устройство для управления работой вычислителя числовых рядов, процессор, предназначенный для работы с числовыми рядами, запоминающее устройство для хранения числовых рядов, и устройство ввода-вывода данных, связанные своими входами-выходами, при этом процессор содержит первый накапливающий сумматор и второй накапливающий сумматор, связанные последовательно, причем данный процессор выполнен с возможностью формирования выходного кода процессора из выходного кода первого накапливающего сумматора и/или выходного кода второго накапливающего сумматора.

В первом частном случае своего выполнения вычислитель характеризуется тем, что устройство ввода-вывода данных выполнено с возможностью сопряжения вычислителя числовых рядов с обучающей системой для численного моделирования алгебраических или неопределенных уравнений.

Во втором частном случае своего выполнения вычислитель характеризуется тем, что устройство

ввода-вывода данных выполнено с возможностью сопряжения вычислителя числовых рядов с одним компьютером или компьютерной сетью.

В третьем частном случае своего выполнения вычислитель характеризуется тем, что содержит табло для отображения данных, связанное с устройством ввода-вывода данных.

В четвертом частном случае своего выполнения вычислитель характеризуется тем, что содержит клавиатуру, связанную с устройством ввода-вывода данных.

Техническое решение поясняется следующими фигурами:

1) фиг.1 - структурная схема вычислителя числовых рядов;

2) фиг.2 - обобщенный алгоритм решения алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием на основе вычислителя числовых рядов.

Согласно структурной схеме, представленной на фиг.1, вычислитель числовых рядов содержит устройство 1 для управления работой вычислителя, процессор 2, специально предназначенный для работы с числовыми рядами, запоминающее устройство 3 для хранения числовых рядов, устройство 4 для ввода-вывода данных, связанные своими входами-выходами через общую шину, выполненную с возможностью

передачи, в частности, сигналов управления и данных. При этом процессор 2 содержит первый накапливающий сумматор 5 и второй накапливающий сумматор 6, связанные между собой последовательно. Причем процессор 2 выполнен с возможностью формирования своего выходного кода из выходного кода первого накапливающего сумматора 5 и/или выходного кода второго накапливающего сумматора 6.

Вычислитель числовых рядов работает следующим образом.

С клавиатуры устройства непосредственного ввода данных, или из обучающей системы, в состав которой входит вычислитель числовых рядов, данные поступают в процессор 2 для работы с числовыми рядами через устройство ввода-вывода данных 4 и общую шину данных.

На вход первого накапливающего сумматора 5 поступает входной код, соответствующий последовательности целых чисел 0, 1, 2, 3... При этом первый накапливающий сумматор 5 выполнен с возможностью формирования ряда чисел (первый числовой ряд), каждое из которых равно сумме предыдущего числа в данном ряду и числа, соответствующего порядковому номеру текущего входного кода. Выходной код первого накапливающего сумматора 5 поступает на общую шину данных и на вход второго накапливающего сумматора 6. Второй

накапливающий сумматор 6 в свою очередь выполнен с возможностью формирования ряда чисел (второй числовой ряд), каждое из которых равно сумме предыдущего числа в данном ряду и числа, соответствующего текущему значению числа первого числового ряда. Выходной код второго накапливающего сумматора 6 поступает на общую шину данных.

Посредством устройства 1 для управления работой вычислителя первый и второй числовые ряды могут быть записаны в запоминающем устройстве 3 и через устройство 4 ввода-вывода данных переданы на устройство отображения данных вычислителя числовых рядов и/или в обучающую систему.

Создание персонального портативного вычислителя числовых рядов имеет следующие предпосылки.

Традиционная алгебра школьного курса для каждого показателя степени уравнения имеет свой метод, то есть свой решатель. Например, для квадратных уравнений это формула с дискриминантом, а для кубических уравнений это формула Кардано. Эти творения великих мыслителей 15-го века, давно ждут новаций.

Известные ученые, начиная с XVI века и до нашего времени, пытаются разобраться в вопросах, возникающих к методам и способам решения алгебраических уравнений. Среди ученых, пытающихся

разобраться в загадках алгебры, были великие математики Ж.Л.Лагранж (1736-1813), Н.Г.Абель (1802-1829), Э.Галуа (1811-1832). Поиски этих ученых заботят ученых-алгебраистов до нашего времени.

Так, например, Л.А.Калужнин и В.И.Сущанский в замечательной работе «Преобразования и перестановки» (М.: «Наука», 1979), поднимают следующие вопросы, непосредственно касающиеся школьного и университетского курсов алгебры:

1) что делать, если дискриминант меньше нуля;

2) дает ли формула Кардано все решения кубического уравнения, и многие другие.

Так, например, уравнение x³-19x+30=0 имеет решения: x₁=-5; x₂=2; x ₃=3.

При этом его дискриминант меньше нуля. В этом случае квадратные корни в формуле Кардано теряют смысл, а три указанных решения этого уравнения получены минуя формулу Кардано.

Такие вопросы к решателям XV века не единичны. Например, уравнение так называемой «золотой

пропорции» или «золотого сечения» x²-x-1=0, являющееся математической моделью многих предметов, процессов и явлений, к великому сожалению не изучается в школьном курсе алгебры. Уравнение золотой пропорции и его выражение в

числах Фибоначчи наделено удивительными свойствами. Оно является математической моделью живых форм материи. Золотое сечение можно встретить в расположении листьев на ветвях деревьев, в очертаниях человеческого тела и его генетических кодах, оно проявляется в мире движения планет, в архитектуре и музыке. Не проходит года, чтобы золотое сечение, то есть уравнение x²-x-1=0, не находило все нового и нового присутствия в самых различных отраслях знаний.

Традиционная алгебра не решает это уравнение, а его решение получено не алгебраическим методом.

Кроме этого основным способом, присущим для решения различных алгебраических уравнений, является достаточно трудоемкое для учащихся деление заданного уравнения на различные многочлены, с целью их приведения к квадратным или кубическим уравнениям, для которых в арсенале алгебры имеются соответствующие решатели. Что же касается неопределенных уравнений, то они пока не заняли подобающего места в школьных и университетских курсах.

Единый решатель Шихаева включающий в свой состав вычислитель числовых рядов справляется с

многими сложностями традиционной алгебры.

За счет того, что им предложен новый способ решения алгебраических и неопределенных уравнений путем их численного моделирования на основе единого решателя. Единый решатель построен на основе вычислителя числовых рядов и двух оригинальных численных моделей - квадратур и кубатур, позволяющих ввести в процесс исследования (решения) алгебраических и неопределенных уравнений специальные числовые ряды (названые одноименно с численными моделями числовыми рядами квадратур и кубатур).

Задачей предложенного вычислителя числовых рядов является достижение более полного раскрытия творческих способностей обучаемого человека, а следовательно повышение качества обучения, а также оказания помощи учащимся при решении сложных уравнений, в том числе ранее не изучаемых в школьных и университетских курсах.

Технический результат заключается в расширении функциональных возможностей средства обучения, для получения исследовательского инструмента, позволяющего более активно работать с учебным материалом, что ведет к улучшению дидактических возможностей и позволяет снизить трудоемкость отдельных операций при решении сложных алгебраических и неопределенных уравнений, ранее не решаемых без

использования приближенных или оценочных вычислений.

Для достижения указанных технических результатов существенным является введение в процесс обучения действий по выражению исходного уравнения адекватной ему численной моделью, позволяющей вводить в состав исходного уравнения специальные числовые ряды, что в свою очередь обеспечивает элементарность получения его решений. Следует особо отметить, что при этом исходные уравнения не приводятся к более простым уравнениям пониженной степени. Вычислитель числовых рядов позволяет избавить учащихся от выполнения рутинных операций, что позволяет им сосредоточиться на творческой работе по исследованию уравнений. При этом вычислитель числовых рядов предоставляет обучаемому возможные варианты выбора типа численной модели исходного уравнения и правила определения ее параметров, что позволяет обучаемому оценивать целесообразность дальнейших действий и вносить в них корректировку для успешного завершения каждого из этапов моделирования, включая полное решение исходного уравнения. Так реализуется интерактивная обратная связь между обучаемым и вычислителем в процессе моделирования исходного уравнения.

Причем действия обучаемого с использованием

вычислителя числовых рядов включают в себя выбор численной модели для исходного уравнения, запись исходного уравнения в форме выбранной численной модели, определение чисел, принадлежащих числовым рядам и одновременно удовлетворяющих численной модели исходного уравнения.

Вычислитель числовых рядов оказывает помощь учащимся на следующих этапах исследования и решения исходного уравнения:

1) выбор численной модели для исходного уравнения и запись исходного уравнения в форме выбранной численной модели;

2) выбор из числовых рядов тех чисел, которые удовлетворят численной модели исходного уравнения;

3) получение на основе ранее записанного исходного уравнения в форме выбранной численной модели нового численного уравнения, являющегося упрощенным для решения по сравнению с исходным уравнением, и характеризующегося тем, что решения полученного нового уравнения также являются решениями исходного уравнения;

Перечисленные действия соответствуют представленному на фиг.3 алгоритму.

При этом возможны следующие режимы использования вычислителя:

- режим объяснения действия или ряда действий обучаемого;

- режим контроля действия или ряда действий обучаемого;

- режим осуществления действия или ряда

действий вместо обучаемого.

В режиме объяснения действия или ряда действий вычислитель числовых рядов позволяет продемонстрировать шаг за шагом обучаемому решение исходного уравнения, а в режиме контроля вычислитель позволяет проверить правильность действий обучаемого при решении исходного уравнения.

Обучаемый имеет возможность оценивать правильность своих действий при подборе параметров модели исходного уравнения и вносить в них необходимые поправки, возвращаясь на предыдущий этап решения. Таким образом реализуется интерактивная обратная связь между обучаемым и вычислителем числовых рядов, что позволяет снизить трудоемкость отдельных операций при решении сложных алгебраических и неопределенных уравнений.

На основе вычислителя числовых рядов строится единый решатель алгебраических и неопределенных уравнений Шихаева, который состоит из следующих частей:

1. Вычислитель числовых рядов, который обеспечивает основную идею численного моделирования различных уравнений, что выражается

в том, что в исходное уравнение, без нарушения его адекватности вводятся специальные числовые ряды и определяются их параметры, удовлетворяющие исходному уравнению.

Основная нагрузка на учащихся при решении алгебраических и неопределенных уравнений повышенной сложности численным моделированием, заключается в работе с числовыми рядами, в выборе и моделировании чисел L ₂ и L₃, которые удовлетворят численным уравнениям квадратур и кубатур. Для того, чтобы снять с учащихся нагрузку по вычислительным операциям с числовыми рядами предусмотрен вычислитель-процессор, специализированный для работы с числовыми рядами, названный вычислитель числовых рядов. Вычислитель числовых рядов выполняет операции получения числовых рядов и вычисления их чисел L₂, L₃ необходимых для решения исходного уравнения, а также для извлечения предела сумм x₀ из чисел L₂ и L₃, и из других чисел, принадлежность которых к нашим числовым рядам неизвестна.

2. Таблица для работы с числовыми рядами, которая является персональным средством учащихся, обеспечивает решение большинства обычных уравнений школьного курса.

Таблица 1 содержит числовые ряды L ₂ и L₃ в

зависимости от предела их сумм x₀, а также дает возможность извлекать предел x₀ из любого числа, что позволяет отнести испытуемые числа к числовым рядам квадратур или кубатур. Это в свою очередь позволяет определять погрешность отклонения испытуемых чисел от чисел L₂ и L ₃, на основе чего учащийся принимает решение об их пригодности или непригодности к сравнению с численными уравнениями квадратур или кубатур.

Вычислитель числовых рядов включает в свой состав два сумматора (см. фиг.1): сумматор 5 чисел L ₂ на вход которого устройство 1 управления задает число от нуля до x₀, где получаются числа L ₂, соответствующие числу x₀, а его выход включен на вход второго сумматора 6, где получаются числа ряда L₃, как сумма чисел ряда L ₂ заданные от нуля до x₀ согласно запросов поступающих с блока управления. Результаты выполнения запроса на получения чисел L₂, L ₃, их рядов и различных комбинаций, получаемых по стандартным запросам с клавиатуры блока управления 1, передаются в запоминающее устройство 3.

На табло устройства отображения данных выводятся результаты выполнения стандартных операций, выполняемых по запросам обучаемых.

Запоминающее устройство вычислителя числовых рядов имеет объем, необходимый для выполнения стандартных операции с числовыми рядами, и служебных программ.

Устройство сопряжения вычислителя числовых рядов с компьютером кваса или с устройствами обучающей системы реализует обмен данными: учащийся-преподаватель.

Единый решатель алгебраических и неопределенных уравнений может использоваться в нескольких вариантах.

1) Как элемент обучающей системы (например, системы Наставник или другой) принятой в данном учебном заведении.

2) Как автономное устройство, с выходом на школьный компьютер.

Числа L₂, L ₃ и x₀ справедливы, как при целых значениях, так и при их делении на числа 10, 100,...

Для того, чтобы получить число L₂=13,5, и число x₀=1,6 необходимо поставить запятые в числах: L₂=136 и x₀=16 и т.д.

Это правило аналогично и для числового ряда L ₃. Вычислитель числовых рядов имеет фиксированные режимы работы.

1) Выдача таблицы числовых рядов квадратур и кубатур согласно запросу: «таблица до x₀».

2) Выдача «кадра» из нескольких строк таблицы числовых рядов, согласно запросу: (x_0i÷x _0j(L₂)) или (x_0i ÷x_0j(L₃)).

3) Получение членов числового ряда квадратур или числового ряда кубатур, согласно запросу: «x₀-L ₂» или «x₀-L₃ ».

4) Получение числа x₀ согласно запросу: (L₂-x₀) или (L₃-x₀).

5) Извлечение числа x₀ из заданного числа, принадлежность которого к нашим числовым рядам неизвестна, с целью определения степени его приближения к числу L ₂, или к числу L₃ согласно запросу: (число а÷х₀(L₂ )) или (число а÷x₀(L ₃)).

Выдаваемые вычислителем числовых рядов данные, обеспечивают решение сложных алгебраических и неопределенных уравнений и снимают с обучающихся значительный объем вычислительных работ, экономя их время для более творческой работы.

Схема специализированного вычислителя приведена на фиг.1,2.

2. Математический аппарат единого решателя численного моделирования алгебраических и неопределенных уравнений, построен на двух оригинальных тождествах, полученных профессором К.Н.Шихаевым и обоснованных необходимыми доказательствами:

Условное тождество А:

При k=1 и k=2:(х^k) ²=(x²)^k, а во всех остальных случаях: (х^k) ²(х²)^k.

Условное тождество Б:

При k=1 и k=3: (x^k) ³=(х³)^k, а во всех остальных случаях (x^k) ³(х³)^k.

где x - любое целое число, a k - любое целое положительное число.

Единый решатель алгебраических и неопределенных уравнений включает в свой состав следующие математические формулы и модели.

2) Модель квадратур: или где k - любое целое, положительное число.

Числа L_2i есть члены числового ряда квадратур:

Числовой ряд квадратур получен на основе формулы перестановок Cⁿ_n+k при n=2.

Числовой ряд (3) и его предел x ₀ справедливы при их делении на числа 10, 100,...

3) Модель кубатур:

где k - любое целое положительное число.

Это обозначение более предпочтительно, при объяснении сути модели кубатур.

Следует отметить, что любой член числового ряда кубатур l_3i, есть сумма членов числового ряда L_2i:

Это важное свойство дает возможность выражать числа L₃ через числа L₂ в процессе их моделирования.

Сокращенное обозначение численной модели кубатур (4) предложено выражать следующим образом:

Обозначение (7) принято вследствие того, что выражение (4) (при всей его ясности), является слишком громоздким, а выражение (7) является наиболее удобным для использования модели кубатур в преобразованиях уравнений.

На основе аппарата единого решателя вычислитель числовых рядов Таблица 1 и выражения (1)-(7), получают численные уравнения квадратур и кубатур, которые обеспечивают элементарное решение исходного уравнения.

Выражения (х^k)² и x^k; (х^k) ³ и x^k, а также числа L ₂, L₃ и x₀ единого решателя, обеспечивают преобразование исходного уравнения, записанного в виде модели квадратур или модели кубатур, в новое численное уравнение квадратур или численное уравнение кубатур.

Разнообразие выражений (x^k) ²±x^k и (x^k )³-х^k, с учетом того, что заданное алгебраическое уравнение всегда можно умножить на число x, и ввести в него дополнительный член ±x, не нарушая его адекватности заданному уравнению, является достаточным, для того, чтобы осуществить преобразование любого заданного уравнения к виду:

[члены заданного уравнения (или их части), оставшиеся после его приведения к модели квадратур]=2L₂ (8), или к виду:

[члены заданного уравнения (или их части), оставшиеся после его приведения к модели кубатур]=6L₃ (9).

Выражения (8) и (9) раскрывают основную идею метода численного моделирования различных алгебраических и неопределенных уравнений. Запишем их более компактно:

[численное уравнение квадратур=2L₂ ] (10).

[численное уравнение куба тур=6L₃ ] (11).

Главными правилами решения алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием, являются следующие положения.

Если в численном уравнении квадратур или кубатур (10) или (11) (решение которого значительно упрощено по сравнению с заданным) взять числа x_i=1, 2, 3,..., в результате которых, численное уравнение примет числовые значения a, b, c, d,..., то те числа x_i, которые дадут те из чисел a, b, c, d,..., которые входят в числовые ряды квадратур L₂ или в числовые ряды кубатур L ₃ являются решениями заданного уравнения. Это правило (12).

Правило (12) не распространяется на неопределенные уравнения, поскольку они имеют множество решений.

Основным правилом определения (моделирования) чисел L₂ и L₃ является раскрытие неопределенности, которая имеет место, вследствие зависимости чисел L ₂ и L₃ от переменной х и наоборот. Это правило (13). Для раскрытия данной неопределенности имеется ряд рабочих правил, основные из которых следующие:

1) правила, следующие из смысла главного правила 12, когда числа L ₂ и L₃, вытекают из численных уравнений квадратур или кубатур, при изменении переменной x;

2) рекомендуется принимать числа L₂ и L₃ равными свободному члену заданного уравнения, если его число входит в состав чисел рядов квадратур или кубатур;

3) приведение свободного члена численных уравнений квадратур и кубатур к числам из рядов квадратур и кубатур умножением его на любое рациональное число L₁.

Эти правила при некотором навыке учащихся элементарно справляются с решением уравнений, что показано в приводимых примерах.

На основе полученных значений чисел L₂ и L₃ (кроме ранее приведенных численных уравнений квадратур и кубатур (10) и (11)) получаем другие численные уравнения квадратур и кубатур:

На основании численных уравнений (14), (15) и (16) получаем уравнения пределов сумм этих уравнений, приводящие к элементарным решениям заданного уравнения, или являющиеся его решениями.

Вычислитель числовых рядов участвует во всех ниже приведенных этапах обобщенного алгоритма численного моделирования алгебраических и неопределенных уравнений, а на этапах 3, 5 и 6 его роль является определяющей.

При реализации данного алгоритма с использованием вычислителя числовых рядов осуществляют следующие действия согласно фиг.3:

На шаге S1 проводят анализ структуры исходного уравнения (с учетом имеющейся возможности повышения его степени и/или введения в его состав дополнительного члена ±x), после чего выбирают модель квадратур с ее численным рядом L₂ (1), и/или модель кубатур (4) с ее численным рядом L₃, более подходящие для получения численных уравнений квадратур, и/или численных уравнений кубатур, получаемых на шаге S3.

На шаге S2 получают модель квадратур исходного уравнения на основании формул: (1)-(3), и/или модель кубатур заданного уравнения на основании формул (4)-(7), с соответствующими числовыми рядами.

В зависимости от вида модели квадратур или модели кубатур, определяемых видом числовых рядов на шаге S3 выбирают Вариант 1 или Вариант 2.

Вариант 1 выбирают, когда преобразование модели квадратур или кубатур в численные уравнения квадратур или кубатур производится согласно формул (10) и (11), где числа рядов квадратур или кубатур определяются через число х, и Вариант 2, когда преобразование модели квадратур или кубатур в численные уравнения квадратур и кубатур производится согласно формул (14)-(16), где первой операцией является определение чисел L₂ или L₃ согласно правил (12) и (13).

Вариант 1 характеризуется шагом S4. При этом преобразуют модель квадратур или модель кубатур исходного уравнения в численное уравнение квадратур или кубатур (10), (11), которые элементарно решаются согласно правилу (12), а решение численных уравнений квадратур и кубатур являются решениями заданного уравнения. На этом решение исходного уравнения закончено.

Вариант 2 характеризуется шагами S5 и S6. Шаг S5 применяют в случае, когда целесообразно сначала получить числа L₂ и L ₃, а затем перейти к численному уравнению квадратур или кубатур (14)-(16). Здесь происходит работа с числовыми рядами, когда определяют числа L₂ и/или L ₃, согласно правила (13), или с помощью Таблицы 1 для относительно простых случаев.

Шаг S6 характеризуется тем, что на основе чисел L₂ и L₃, полученных на шаге S5, преобразуют численную модель квадратур или кубатур исходного уравнения в численное уравнение квадратур и/или кубатур (14)-(16), которые элементарно решаются на уравнениях пределов сумм этих уравнений.

На шаге S7 производят оформление результатов полученных решений.

Процесс обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием на основе единого решателя, включающего в свой состав вычислитель числовых рядов, строится на принципе обратной связи, когда результаты, полученные на последующих этапах обучения, оцениваются с позиции удачности ранее принятых решений на предыдущих этапах обучения.

Этапы (учебный план) обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений в данной системе обучения строятся в соответствии с алгоритмом, показанном на фиг.2.

При этом преподаватель напоминает терминологию и основные этапы наименований обучающей системы, и ее единого решателя.

Квадратуры:

- Исходное алгебраическое или неопределенное уравнение.

- Тождество квадратур А.

- Численная модель квадратур исходного уравнения (1), (2).

- Числовой ряд квадратур L₂ (3).

- Численное уравнение квадратур (10), (14), (15) и правила (12), обеспечивающие его элементарные решения, которые одновременно являются решениями исходного уравнения.

Кубатуры:

- Заданное алгебраическое или неопределенное уравнение.

- Тождество кубатур Б.

- Численная модель кубатур заданного уравнения (4)-(7).

- Числовой ряд кубатур L ₃.

- Численное уравнение кубатур (11) или (16) и правила (13), обеспечивающие его элементарные решения, которые одновременно являются решениями исходного уравнения.

Преподаватель объясняет смысл всех этапов алгоритма численного моделирования и решения алгебраических и неопределенных уравнений с использованием вычислителя числовых рядов:

1. При изучении предмета (шаг S1), проводя анализ структуры исходного уравнения, преподаватель делает акцент на различных вариантах подготовки заданного уравнения к его преобразованию в численные модели квадратур и кубатур, объясняет ученикам, что это зависит от правильности выбора числового ряда и его обработки вычислителем. При этом преподаватель проводит проверку усвоения учениками выбора численной модели заданного уравнения, и ее основного звена -вычислителя числовых рядов, исходя из того, как это решение повлияет на действия, проводимые в последующих блоках алгоритма, приводя примеры и их оценки.

2. Начиная со второго шага (S2) алгоритма, изучаются числовые ряды квадратур и кубатур и прибор, обеспечивающий работу с этими рядами -вычислитель числовых рядов. Этот предмет изучается на всех последующих этапах с углублением познания приемов работы с числовыми рядами. Изучение числовых рядов сопровождается изучением вычислителя числовых рядов, и режимов его работы. В результате учащиеся получают знания о том, как получить численную модель заданного уравнения и как обосновать введение в нее чисел из числовых рядов квадратур и кубатур, а также как получить необходимые числа L₂ и L₃, применяя для этого вычислитель числовых рядов.

3. Начиная с шага S3, изучение предмета сопровождается примерами решения различных уравнений, где преподаватель продолжает вести диалог с учениками о последствиях выбора численных моделей и численных уравнений сопровождая объяснениями тех операций, которые выполняет вычислитель числовых рядов, оценивая влияние этого выбора на получение численного уравнения и его решений, которые являются решениями исходного уравнения.

4. При изучении шагов S4-S6 алгоритма преподаватель комментирует, какой из способов определения числа L ₂ или L₃ оказался более удачным, исходя из правил (12) и (13), и из структуры численных уравнений квадратур и кубатур исходного уравнения.

Теперь посмотрим, как ученики восприняли советы преподавателя о выполнении задач, стоящих в блоках обобщенного алгоритма:

1. При исследовании заданного уравнения на предмет того, как лучше привести его к численным моделям квадратур и/или кубатур, учащийся использует те знания, которые он получил при изучении основных положений единого решателя и его основного звена вычислителя числовых рядов. Он уже знает, что любое алгебраическое или неопределенное уравнение, используя числовые ряды можно записать как в виде численной модели квадратур, так и численной модели кубатур.

2. Переходя на шаг S2 алгоритма, один из учащихся поступает следующим образом (на примере уравнения х³-19х+30=0 (П1-1), которое не решается классическими методами, поскольку его дискриминант меньше нуля): Он записывает уравнение (П1-1) в виде численной модели кубатур:

В этой записи заданное уравнение не изменилось, а только получило возможность (которую дала сумма, стоящая в его левой части) приравнять его правую часть к числам L ₃ - членам числового ряда кубатур.

3. Далее ученик выполняет шаг S3 алгоритма, где на основе численной модели кубатур исходного уравнения он получает численное уравнение кубатур:

Ученик знает, что согласно правила 12 все решения численного уравнения (П1-3) являются решениями заданного уравнения. На шаге S3 алгоритма ученик должен сделать выбор из двух вариантов. Вариант 1: решать численное уравнение (П1-3), моделируя число x, и получая при этом числа L₃, удовлетворяющие уравнению (П1-3), получая при этом все решения заданного уравнения. Или Вариант 2: определить число L₃ на шаге S5, а затем переходить к шагу S6 для получения численного уравнения кубатур вида (16).

Ученик выбирает первый вариант и решает численное уравнение кубатур (П1-3) минуя шаги S5 и S6 алгоритма.

Он не сразу определяет числа L₃, а поступает согласно правилу 12 - изменяет числа x, а полученные результаты сравнивает с числами L₃. При этом число L₃ находится в Таблице 1 или для сложных уравнений из вычислителя числовых рядов. Подставляя в уравнение (П1-3) число х=2; он получает L₃: L ₃=3·2-5=1. Поскольку число 1 входит в числовой ряд кубатур, то число х=2 есть первое решение заданного уравнения: x₁=2. Подставляя в уравнение (П1-3) число х=3 он получает число L₃=3·3-5=4.

Поскольку число 4 входит в состав числового ряда кубатур, то число х=3 есть второе решение заданного уравнения: х ₂=3. Число х=4 не дает числа L₃, входящего в числовой ряд кубатур.

Число х=5 также не дает числа L₃, но число x=-5 дает число L ₃: L₃=-3·5-5=-20, которое является членом числового ряда кубатур и, следовательно, число х ₃=-5, является третьим решением заданного уравнения. На основе полученных решений ученик производит оформление результатов задания (шаг S7).

Эти решения (при определенном навыке) учащийся находит за 3-5 минут. При этом он не делил заданное уравнение на многочлены, для того чтобы снизить его степень.

Второй ученик получил задание решить другое уравнение: х ⁸-17x⁴+16=0.

1. Исследуя заданное уравнение, он выбрал модель квадратур.

2. Он записал заданное уравнение в виде модели квадратур:

3. Далее он получил численное уравнение квадратур 8x⁴-8=L₂ (П2-2).

4. Он решил перейти ко второму варианту шага S3 обобщенного алгоритма, где необходимо получать числа L₂ , удовлетворяющие численному уравнению квадратур типа (15). Для этого он решил привести свободный член численного уравнения квадратур (2)

- число 8, которое не является членом числового ряда квадратур к числу L₂ - члену числового ряда квадратур. Для того, чтобы число 8 стало членом численного ряда квадратур, ученик включил свой вычислитель числовых рядов и определил, что для получения числа L₂ на основе числа 8 возможно. Для этого число 8 следует умножить на число L₁=15, что дает число L ₂=120, являющееся членом числового ряда квадратур. Он правильно определил число L₂=120, что является основной операцией, которая без применения вычислителя числовых рядов могла потребовать много времени.

5. На основе числа L ₂=120 он записал численное уравнение квадратур вида(14): решение которого оказалось элементарным:

x ⁴-1=x₀=15; х⁴ =16; x_3,4=±=±2.

В заключение разбора выполнения учениками полученных заданий, учитель отметил, что оба ученика правильно решили заданные уравнения и уложились в заданное время. При этом он отметил, что второй ученик правильно использовал вычислитель числовых рядов, и что в противном случае он бы не уложился в заданное время.

Техническая реализация решателя Шихаева в виде специализированного прибора-вычислителя, позволяет использовать его как автономно, так и в системе обучения принятой в конкретном учебном заведении, например, в известной системе Наставник. При этом способ Шихаева обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием на основе моделей квадратур и моделей кубатур, алгоритм функционирования которых описан формулами (1)-(6) и (10)-(16) совместно с техническими средствами решателя обеспечивают решение самых разнообразных алгебраических и многих неопределенных уравнений.

Далее приводятся примеры решения, алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием на основе единого решателя.

Большинство алгебраических примеров взято из школьного курса алгебры, которые накопились за много столетий трудами преподавателей и ученых. Примеры решения неопределенных уравнений взяты из учебников по теории чисел и сопутствующей им литературы.

Пример 1. Численное моделирование и решение уравнения золотой пропорции х² =х+1 (a1).

Преобразование уравнения золотой пропорции в модель квадратур. Для этого следует умножить уравнение (a1) на число x², что дает тождественное уравнение: х⁴-х³=х ²; х⁴-х²=х ³(а2).

Уравнение (а2), преобразованное в модель квадратур имеет вид:

Из уравнения (а3) следует, что число должно быть членом числового ряда квадратур. Принимая за число L₂ одно из начальных чисел ряда квадратур L₂=3, получим:

Число 13,5 приближенно равно числу L ₂=13,6, которое принадлежит к числовому ряду квадратур. Принимая L₂13,6 строим численное уравнение квадратур:

Из числа L₂=13,6 согласно Таблице 1 следует число x₀=1,6.

Пояснение:

13,6=0,1+0,2+0,3+0,4+0,5+0,6+0,7+0,8+0,9+1+

+1,1+1,2+1,3+1,4+1,5,+1,6)=13,6

Подчеркнутое число 1,6 и есть число x₀ (предел суммы правой части модели (а5)).

На основании численного уравнения (а5) строим уравнение пределов его сумм:

Повторим решение уравнения (а1) с использованием модели кубатур и численного ряда L₃. Для того, чтобы преобразовать уравнение (а1) в модель кубатур его следует умножить на число x.

откуда имеем: L₃= (а8).

Моделируя число L₃ под уравнение (а8) получим:

Далее все аналогично ранее полученным результатам, когда уравнение (а1) решалось с помощью модели квадратур и числового ряда L₂.

Здесь следует отметить, что решение уравнения золотой пропорции (а1) ранее было получено из следующего соображения: «Из физического смысла золотой пропорции вытекает, что искомое решение уравнения х ²=х+1 должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения x² =x+1: , которое и дает приближенное значение золотой пропорции =1,61803398874989484820...» (см. Стахов А.П. и др. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. «Питер», 2007, с.25 и 26).

Алгебраические решения уравнения x²=x+1 нам неизвестны.

Пример 2. Численное моделирование и решение уравнения x ⁸-17х⁴+16=0 (г1).

Преобразуем уравнение (г1) в модель квадратур:

Принимая в уравнении (г3) x=±1, получим: L ₂=0. Число 0 входит в числовой ряд квадратур, откуда следует, что число x_1,2=±1 является решениями заданного уравнения.

Для нахождения следующих решений уравнения (г1), снова возьмем уравнение L₂=8x ⁴-8.

Для того, чтобы число 8 стало членом ряда квадратур (как следует из Таблицы 1), его следует помножить на число L ₁=15, что дает число L₂=120, являющееся членом числового ряда квадратур и дающее число x ₀=15.

На основе числа L₂=120 и x₀=15 получаем численное уравнение квадратур:

На основе пределов сумм уравнения (г5) строим и решаем уравнение пределов его сумм: х⁴-1=x ₀=15; х⁴=16; x=±=±2; x_3,4=±2.

Пример 3. Численное моделирования и решение иррационального уравнения (д1).

Поскольку свободный член уравнения (д1) входит

в состав чисел ряда квадратур L₂=1, подставим его в уравнение (д1) вместо числа X. Получим:

Пример 4. Численное моделирование и решение показательного уравнения 4^x-10·2^x-1 =24 (e1).

Преобразуем исходное уравнение (е1) в модель кубатур. Для этого запишем его в следующем виде

;

Поскольку свободный член уравнения (е3) число 10 входит в числовой ряд кубатур, примем число L ₃=10. 3L₃=30=10·2+10=30 (е4).

Поскольку выражение (е4) оказалось тождеством, то из этого следует, что решением уравнения (е1) является число x ₁=3.

Пример 5. Доказать, что при x+y+z=0 справедливо тождество: х³+у³+z ³=3xyz (з1). Эта задача ранее была решена с использованием теоремы о симметрических многочленах. Эти многочлены не изучаются в школах и обычных институтах.

Преобразуем уравнение (з1) в модель кубатур. Получим:

Для того чтобы, при условии x+y+z=0, выражение (з2) стало тождеством, необходимо, чтобы его члены, стоящие в квадратных скобках были равны нулю.

Для этого необходимо, чтобы в пределах сумм, стоящих в скобках, соблюдались следующие равенства: x=1, y=1, z=1. При этом выражение, стоящее в квадратных скобках примет нулевое значение, а выражение (з2) примет вид:

(x³+y³+z ³=3)=3(x=1)(y=1)(z=1)=3 (з3)

Выражение (з3) доказывает, что выражение (з1) является тождеством.

Пример 6. х ²+у²+z²=2m·x·y·z (10), где числа x, y, z, целые положительные, a m - заданное натуральное число. Это уравнение считается высокой степени сложности.

Преобразуем уравнение (10) на основе наших тождеств: х ²+x= и . Получим систему двух уравнений:

Система (11) дает два необходимых условия разрешимости уравнения (10):

Прибавляя к условию (12) число ±2(x+y+z), получим:

Выражение (14) имеет такую форму, которая как бы «подсказывает», что число 2m может быть задано в следующем виде: 2m=x+y+z (15), откуда следует: .

Выражение (16) имеет вид, который подсказывает его решение: х=1, У=1, z=1. При этих числах выражение (16) принимает вид: 2-1=x·y·z (17). Условие (17) удовлетворяет уравнению (10):

(1+1+1)=3=2m·x·y·z=(x+y+z)·1= 3.

Второе условие разрешимости уравнения (10): (x+y+z)=0, также удовлетворяет заданному уравнению (10).

В книге «Г.Ф.Вороной» (ответственный редактор И.М.Виноградов. Киев, «Издательство АН УССР», 1953), написанной в честь известного математика Г.Ф.Вороного на стр.264 отмечено: в 1885 г. юный математик ставит перед собой задачу очень большой сложности. Он исследует вопрос о решении в целых, положительных, рациональных числах x, y, z неопределенного уравнения x²+y²+z ²=2m·x·y·z, где m - заданное, натуральное число. На стр.267 этой книги (в тексте, взятом из дневника Г.Ф.Вороного, где он говорит об этом уравнении) написано: «Я, собственно говоря, потерял надежду когда-нибудь решить эту задачу...».

1. Персональный портативный вычислитель числовых рядов, содержащий устройство для управления работой вычислителя числовых рядов, процессор, предназначенный для работы с числовыми рядами, запоминающее устройство для хранения числовых рядов, и устройство ввода-вывода данных, связанные своими входами-выходами, при этом процессор содержит первый накапливающий сумматор и второй накапливающий сумматор, связанные последовательно, причем данный процессор выполнен с возможностью формирования выходного кода процессора из выходного кода первого накапливающего сумматора и/или выходного кода второго накапливающего сумматора.

2. Вычислитель по п.1, отличающийся тем, что устройство ввода-вывода данных выполнено с возможностью сопряжения вычислителя числовых рядов с обучающей системой для численного моделирования алгебраических или неопределенных уравнений.

3. Вычислитель по п.1, отличающийся тем, что устройство ввода-вывода данных выполнено с возможностью сопряжения вычислителя числовых рядов с одним компьютером или компьютерной сетью.

4. Вычислитель по п.1, отличающийся тем, что содержит табло для отображения данных, связанное с устройством ввода-вывода данных.

5. Вычислитель по п.1, отличающийся тем, что содержит клавиатуру, связанную с устройством ввода-вывода данных.