Скоростная безопасная санно-бобслейная трасса (сбсбт)

Предложенная полезная модель представляет собой инновационное решение геометрии и конструкции ледяного желоба СБТ, в продольном профиле и в поперечных сечениях которого широко использованы положительные кинематические свойства брахистохроны и ее эквидистанты. В результате внутренняя геометрия желоба на всем протяжении трассы представлена в форме такой ледяной поверхности двоякой кривизны, которая даже при смертельно опасных ошибках спортсмена на старте, на входе в вираж, на выходе из виража и на всех остальных участках трассы выправляет траекторию движения болида, не позволяет вылететь ему из желоба и гарантирует выход на финишную прямую без трагических последствий.

Разработана математическая модель взаимодействия болида с внутренней поверхностью желоба трассы, в которой исходными данными служат комфортные графики изменения центробежной силы инерции болида на виражах (эволюты), а конечными результатами являются очертания осей кривых на виражах в плане (эвольвенты), отвечающие международным стандартам безопасности по условиям максимально допустимых боковых перегрузок на спортсменов.

С учетом того факта, что официальные международные нормы проектирования СБТ до настоящего времени отсутствуют, в описании много внимания уделено проблемам разработки и создания этого важного документа.

13 з.п. ф-лы, 17 иллюстраций.

Полезная модель относится к спортивным сооружениям для зимних видов спорта, предназначенным для проведения тренировок и соревнований всех возможных уровней по бобслею, санному спорту и скелетону.

Известен эскизный проект СБТ для «Сочи-2014», разработанный международной фирмой «IBG+Partner» под руководством гражданина Германии Удо Гургеля.

Расчеты центростремительного ускорения болидов на виражах СБТ для олимпийского «Сочи - 2014» показали, что при скорости прохождения трассы V=135 км/час (37,5 м/сек) наименьшая безопасная величина радиуса закругления виража в плане равна 28.7 м. Поэтому виражи С1, С2, С3, С5, С6, С7, С9, С11 представляют собой смертельную опасность для пилотов. Если же с запасом на безопасность центростремительное ускорение определить для скорости V=150 км/час (41,67 м/сек), то наименьшая величина радиуса закругления виража в плане станет уже равной 35,4 м. В этом случае к приведенному выше перечню смертельно опасных виражей добавятся виражи С10, С14, С16 и С17.

Далее, решение осей виражей в плане в виде отрезков круговых кривых делает виражи сочинской трассы еще более опасными, так как после прохождения болидом точки сопряжения прямолинейного и кругового участков центробежная сила инерции возникает скачкообразно и на перегрузку, обусловленную недостаточной величиной радиусов закруглений накладывается дополнительная нагрузка, возникающая от практически мгновенного появления центробежной силы большой величины.

Наконец, на трассе для «Сочи - 2014» фактически предусмотрены не три контруклона, как утверждается в официальных документах, а целых пять. По замыслу Удо Гургеля эти контруклоны, скорее всего, предназначаются для гашения скорости болидов в случае, если эта скорость будет превышать расчетное значение, равное 135 км/час.

Грамотными решениями проблемы превышения расчетной скорости в предложенной полезной модели является во-первых, использование кинематических свойств брахистохроны в продольном профиле и поперечных сечениях СБТ, во-вторых, обеспечение постоянной скорости болидов после прохождения первых двух-трех виражей, и, в третьих, создание двух-трех аварийных тупиков с контруклонами.

Наиболее близкой к предложенной является санно-бобслейная трасса, которая содержит желоб с отбойными бортиками, имеющий в плане прямолинейные и криволинейные секции, при этом осевая линия желоба образована следующими друг за другом участками: прямой, входной переходной кривой, радиальной дугой, выходной переходной кривой и прямой, при этом поперечные сечения желоба на криволинейных в плане участках выполнены в виде гладких монотонно возрастающих кривых, имеющих горизонтальную касательную в нижних точках, например, неполными четвертями эллипсов, центры которых лежат в плане на внутренней, по отношению к повороту, границе желоба, а угол между поверхностью желоба и отбойными бортиками выбирается так, чтобы угол между приставленным к бортику спортивным снарядом и бортиком лежал в диапазоне 90-100º. При этом переходные кривые осевой линии трассы в точках сочленения с прямыми и радиальными участками выполнены с обеспечением гладкости сочленения не менее, чем до третьей производной по координатам включительно, а отбойные бортики выполнены по всей длине желоба (см. патент РФ на полезную модель 79791, опуб. 20.01.2009).

Недостатками известной санно-бобслейной трассы являются: ограниченный набор решений кривых осей виража, которые сводятся к наличию на каждом вираже входной и выходной переходной кривой и круговой вставки между ними, а в поперечных сечениях - в виде гладких монотонно возрастающих кривых, являющихся четвертями эллипса с горизонтальной касательной в нижней его точке, прямоугольное поперечное сечение трассы на прямолинейных участках, что противоречит международным правилам соревнований по бобслею и скелетону, отсутствие научно обоснованной, отвечающей стандартам безопасности СБТ математической модели, связывающий закон изменения центробежной силы на виражах (эволюты) с законом изменения оси виража в плане (эвольвенты).

Технической задачей заявляемого решения является создание такого очертания внутренней поверхности желоба трассы, которое гарантирует безопасное прохождение болидов с пилотами на всем ее протяжении от старта до финиша с высокими скоростями до 150 км/час.

Технический результат достигается комплексом решений, перечисленным ниже.

В скоростной безопасной санно-бобслейной трассе (СБСБТ), содержащей желоб с отбойными козырьками, состоящий в плане из ряда виражей, соединенных между собой прямолинейными участками, в соответствии с предложением продольный профиль желоба по оси, совпадающей с серединой дна желоба во всех его поперечных сечениях, в развертке представляет собой гладкую монотонную вогнутую вверх кривую, вписанную в прямоугольный треугольник с меньшим катетом, равным разности по высоте стартового створа и финишного, и большим катетом, равным расстоянию между стартовым и финишным створами в горизонтальной проекции, причем гипотенуза построенного таким образом прямоугольного треугольника является хордой монотонной вогнутой вверх кривой, проходящей через вершину меньшего катета, совпадающую со стартовым створом, а больший катет совпадает с касательной к кривой в финишном створе.

Кроме того, внутренняя поверхность желоба на виражах имеет двоякую кривизну с меньшими главными кривизнами, принадлежащими кривым, образованным пересечением желоба горизонтальными плоскостями, и большими главными кривизнами, принадлежащими кривым, образованным пересечением желоба вертикальными фронтальными плоскостями, перпендикулярными касательной к оси трассы в точке пересечения с фронтальной плоскостью, эквидистантными брахистохроне, а внутренняя поверхность желоба на прямолинейных участках имеет форму линейчатой поверхности, образованной в продольном направлении прямыми, параллельными оси участков, а в поперечном направлении, в пересечении вертикальными фронтальными плоскостями, перпендикулярными оси трассы, - кривыми, также эквидистантными брахистохроне.

Для безопасного движения по трассе болидов с высокими скоростями очертание оси каждого виража в плане выполняется в форме такой эвольвенты, эволютой которой служит график плавного изменения центробежной силы инерции болида по длине виража в его развертке на плоскость.

Кроме того, продольный профиль оси дна желоба трассы состоит из короткого стартового участка, выполненного в виде отрезка эквидистанты брахистохроны, последующего самого длинного участка, состоящего из нескольких виражей и нескольких прямолинейных отрезков, и последнего финишного участка, расположенного за пределами финишного створа и выполненного также в виде отрезка эквидистанты брахистохроны с обратным уклоном (контруклоном) и с обратными уступами, плавно сопряженного с выпуклым вверх отрезком гладкой кривой, переходящей в прямолинейный горизонтальный отрезок, причем сопряжения всех отрезков друг с другом в продольном направлении выполняются с соблюдением условий не ниже второго порядка.

Кроме того, продольный профиль середины дна желоба трассы выполнен в форме кривой, рассчитанной из условия, чтобы расчетная скорость движения болида, набранная в конце стартового участка, оставалась постоянной до самого финиша и уменьшалась до нуля после прохождения финишной черты.

Кроме того, набор следов горизонтальных плоскостей, пересекающих внутренние боковые поверхности желоба трассы, эквидистантных оси трассы, и набор следов фронтальных вертикальных плоскостей, пересекающих внутренние боковые поверхности желоба трассы по кривым, эквидистантным брахистохроне, в пересечениях образуют сетку, лежащую на поверхности двоякой кривизны на виражах, и сетку, лежащую на горизонтальной плоскости на прямолинейных участках трассы.

Кроме того, дно желоба трассы на прямолинейных участках лежит в горизонтальной плоскости, а на виражах наклонено к горизонтальной плоскости под углом, величина которого рассчитывается из условия динамического равновесия центробежной силы инерции болида и равнодействующей собственного веса болида при возможном его опрокидывании в поперечном направлении.

Кроме того, во всех поперечных сечениях внутренней поверхности желоба сопряжения отрезков прямых дна желоба с кривыми, эквидистантными брахистохроне, выполняются с соблюдением условий не ниже второго порядка, а сопряжения отбойного козырька с боковыми поверхностями желоба в верхней точке эквидистанты брахистохроны выполняются с изломом.

Кроме того, угол наклона отбойного козырька к вертикали определяется из условия:

,

где у_В - вертикальное расстояние от дна желоба до высшей точки эквидистанты брахистохроны в поперечном сечении трассы;

у_А - вертикальное расстояние от дна желоба до точки контакта нижней пары коньков самого тяжелого болида (четырехместного боба с экипажем) с эквидистантой брахистохроны;

k - ширина колеи четырехместного боба с экипажем.

Кроме того, минимальные значения радиусов эвольвент по условиям безопасности движения болидов по трассе соответствуют неравенству:

,

в котором

V - расчетная скорость движения болида по трассе;

g=9,81 м/сек ² - ускорение падающего тела.

Для создания дополнительных условий безопасной эксплуатации трассы в наиболее опасных ее местах желоб имеет аварийные тупики, очерченные отрезками эквидистанты брахистохроны с обратными уклонами и обратными уступами.

По условиям безопасности на прямолинейных участках трассы внутренние боковые поверхности поперечного сечения желоба в форме эквидистанты брахистохроны выполнены с учетом предельного значения угла заклинивания болида, а на виражах - с учетом суммарной величины предельного значения угла заклинивания и угла притирки болида к наружной кривой виража.

Регламентируемая правилами соревнований минимальная высота внутреннего борта трассы на виражах, составляющая величину 45 см, по условиям безопасности движения болида при выходе из виража должна быть увеличена, что для каждого отдельного виража обосновывается расчетом.

Заявляемая полезная модель иллюстрируется чертежами, на которых:

- на фиг.1 представлена постановка задачи о брахистохроне;

- на фиг.2 показан способ построения брахистохроны с помощью катящейся окружности;

- на фиг.3 дан типичный фрагмент оси СБТ в плане с двумя виражами и прямолинейным участком; A, B, C, D, F, G - точки сопряжения прямолинейных участков и виражей, ВС - несимметричный вираж, ВУА - симметричный вираж, штрих-пунктир - ось симметрии;

- на фиг.4 схематично показан профиль предлагаемой СБТ в развертке; АВ, CD, FG - прямолинейные участки; BD - стартовый участок, CEGH - финишный участок, С - финишный створ, СЕ - вогнутый вверх участок, эквидистантный отрезку брахистротоны, EG - выпуклый вверх участок, CEG - участок с обратным уклоном и обратными уступами, GH - горизонтальная прямая, h - разность по высоте стартового и финишного створов, l - расстояние между стартовым и финишным створами в горизонтальной проекции.

- на фиг.5 в осях х, у показана симметричная кривая, состоящая из двух переходных кривых ОА и ВС и круговой вставки АВ между ними (штрих-пунктир - ось симметрии, сплошная прямая - касательная);

- на фиг.6 в осях х, у показана симметричная кривая с плавным прогрессивным нарастанием кривизны от нуля до максимума в середине кривой в точке D и с плавным прогрессивным убыванием кривизны от максимума до нуля в точке А (штрих-пунктир - ось симметрии, сплошная прямая - касательная);

- на фиг.7 в осях х, у показана несимметричная кривая, с плавным прогрессивным нарастанием кривизны от нуля в точке О до максимума в точке D и плавным убыванием от максимума до нуля в точке А;

- на фиг.8 показано предельно возможное положение болида 3 на поперечном контуре желоба 1 с отбойным козырьком 2, сопряженным с эквидистантой брахистохроны с изломом; К - колея болида, В - точка излома козырька 2 на желобе 1.

- на фиг.9 (а-ж) из бесконечного числа возможных вариантов показаны несколько графиков изменения центробежной силы инерции F(x) по длине виража 1 в развертке (графики эволют);

- на фиг.10 в поперечном сечении показано текущее положение болида 3 на вираже желоба 1 с приложенной в центре масс С центробежной силой инерции F(x) и равнодействующей собственного веса Q;

- на фиг.11 показан план прямолинейного участка желоба 1 с болидом 3, направление движения которого отклонилось от оси участка трассы на угол ;

- на фиг.12 показан финишный участок трассы, состоящий из вогнутого вверх отрезка СЕ, эквидистантного брахистохроне, выпуклого вверх с плавным изменением кривизны отрезка EG с обратными уступами 10 и прямолинейного отрезка GH;

- на фиг.13 в осях представлен фрагмент плана участка трассы с аварийным тупиком: АВ, CD - прямолинейные участки; ВС, DG - виражи; BE - аварийный тупик;

- на фиг.14 показан фрагмент желоба виража в плане (а) с сеткой, образованной следами пересечения его горизонтальными и фронтальными вертикальными плоскостями, и в поперечном сечении (б);

- на фиг.15 в аксонометрии (а), в виде сетки, показан типичный вираж BCD желоба с двумя сопряженными с ним прямолинейными участками АВ и DE, а также (б) его вид с торца А или Е;

- на фиг.16 показана в плане схема заклинивания болида 3 на прямолинейном участке желоба 1 трассы: а - ширина желоба, k - колея болида, b - база болида;

- на фиг.17 показана в плане схема притирки наиболее тяжелого болида 3 (4-хместного боба) к наружной кривой виража.

Поскольку в геометрии предлагаемого в настоящем описании ледяного желоба СБТ одну из ключевых ролей играет брахистохрона, необходимо остановиться на описании ее важнейших кинематических свойств.

Пусть материальная точка m движется без трения с начальной горизонтальной скоростью V₀ из положения А в положение В (фиг.1), Кривая, при движении по которой материальная точка m достигнет наивысшего положения В за кратчайшее время, называется брахистохроной. В точке А касательная к брахистохроне горизонтальна, а в точке В вертикальна. Скатывание материальной точки m из положения В в положение А происходит за то же время и по той же кривой, что и подъем из положения А в положение В. Брахистохрона обладает свойством таутохронности, которое состоит в том, что материальная точка m из промежуточного положения С с горизонтальной скоростью V₀ в положение В поднимается за то же время, которое нужно затратить на подъем из положения А в положение В, а спуск из положения С в начальное положение А происходит за то же время, что и на спуск из положения В в положение А. Отметим еще, что если любое материальное тело движется по брахистохроне, то центр масс этого тела движется по кривой, эквидистантной брахистохроне и наоборот. Кроме того, кривая эквидистантная брахистохроне, брахистохроной не является.

На фиг.2 показан способ построения брахистохроны с помощью катящегося круга радиуса

Уравнение брахистохроны в параметрической форме записывается следующим образом:

где V₀ - начальная линейная скорость материальной точки m в начале координат (фиг.1);

g - ускорение падающего тела;

- удвоенный угол наклона касательной к брахистохроне к оси абсцисс в данной точке,

- радиус окружности, образующей брахистохрону по фиг.2.

А₁ В₁ С₁ - внутренняя эквидистанта; А₀С₀В₀ - наружная эквидистанта.

Угол наклона отбойного козырька

Предлагаемая СБТ содержит желоб 1 с отбойными козырьками 2 для удержания болида 3 (фиг.8).

Изложим аналитический способ вычисления угла наклона отбойного козырька 2 в точке излома (точка В на фиг.8). Ординаты точек В и А определяются из уравнения эквидистанта брахистохроны при предельном положении болида 3, когда его правая пара коньков приходит в соприкосновение с козырьком 2. Из фиг.8 имеем:

поэтому угол между вертикалью и направлением наклона козырька 2 определяется из условия:

где k - расстояние между левыми и правыми парами коньков болида 3.

Внутренняя поверхность желоба

Самым главными элементами предлагаемой СБТ, определяющими ее эксплуатационную безопасность, являются виражи. Ось каждого виража в настоящем описании рассчитывается по базовым исходным данным, представляющим собой графики изменения центробежной силы инерции F(x), показанные для развернутой (распрямленной) оси виража на фиг.9 (а-ж), и являющиеся эволютами, эвольвенты которых представляют собой кривые осей виража в плане. Ледяное дно желоба 1 виража выполняется в форме ленты, изогнутой таким образом, что края ленты и следы пересечений внутренних боковых поверхностей желоба 1 виража горизонтальными плоскостями образуют набор плоских кривых 4, эквидистантных оси виража (см. фиг.14). Следы пересечений внутренних боковых поверхностей желоба фронтальными вертикальными плоскостями образуют другой набор плоских кривых 5, эквидистантных брахистохроне. Фронтальные вертикальные плоскости, пересекающие желоб 1 трассы, являются плоскостями поперечных сечений виражей. А поскольку длины кривых в поперечных сечениях наименьшие по сравнению с длинами кривых в косых сечениях, эквидистантные брахистохроне кривые 5 будут иметь минимальную длину и минимальные радиусы кривизны в каждой точке. Следовательно, фронтальные вертикальные плоскости являются плоскостями максимальных главных кривизн кривых 5, эквидистантных брахистохроне, а это значит, что горизонтальные секущие плоскости дают плоские кривые с минимальными главными кривизнами другого направления. Следовательно, набор кривых 5, эквидистантных брахистохроне в вертикальных фронтальных плоскостях, и набор кривых 4, эквидистантных оси виража в горизонтальных плоскостях, в пересечениях дают сетку кривых, образующих внутреннюю боковую поверхность желоба 1 виража с экстремальными кривизнами (фиг.14).

Неотъемлемыми элементами СБТ, также существенно влияющими на ее эксплуатационную безопасность, являются прямолинейные участки между виражами. В общем случае, внутренняя боковая поверхность этих участков является криволинейной линейчатой, с сеткой, образованной пересечением набора прямых в продольном направлении трассы с набором кривых, эквидистантных брахистохроне в поперечных сечениях. В частном случае, когда входные и выходные поперечные сечения двух последовательно расположенных виражей одинаковы, внутренняя поверхность прямолинейного участка трассы является цилиндрической (фиг.15).

Дно желоба 1 на прямолинейных участках представляет собой плоскую ленту. Дно желоба 1 на виражах является линейчатой пространственной поверхностью, сетка которой состоит из набора наклонных прямых 6 (фиг.10, фиг.14) с переменным углом наклона , являющихся следами пересечения виража фронтальными вертикальными плоскостями, и пространственных плавных монотонных кривых 7 (фиг.14), проекции которых на горизонтальную плоскость эквидистантны оси виража в плане.

Следует особо подчеркнуть, что в разделе IV п.1.3 «Правил соревнований», принятых на Президиуме федерации бобслея России 20.04.2008 г. предусмотрена совершенно неприемлемая по условиям безопасности норма, согласно которой «края желоба должны быть закруглены (радиус 20 см)». По умолчанию эта норма подразумевает наличие вертикального борта желоба, сопрягаемого с плоским дном отрезком круговой кривой. Но при движении болида по участку трассы с углом перекоса, как показано на фиг.13, удар может произойти в точке, расположенной над основанием выше 20 см. Последствия такого удара могут стать трагическими, как это произошло с Недаром Кумариташвили в канадском Ванкувере 12 февраля 2010 г.

Поэтому в нормах должно быть закреплено обязательное условие, в соответствии с которым и на прямолинейных участках, и на виражах СБТ боковой контур поперечного сечения очерчивается по кривой, эквидистантной брахистохроне, или по другой вогнутой внутрь гладкой монотонной кривой. Кроме того, регламентируемая правилами соревнований минимальная высота борта желоба трассы, равная 45 см, в экстремальных ситуациях недостаточна для соблюдения условий безопасной эксплуатации трассы и должна быть увеличена ориентировочно до 60 см, что обосновывается расчетом. Далее, во избежание вылета болида из желоба трассы, на всем ее протяжении на обоих бортах - высоком и низком - должен быть предусмотрен отбойный козырек 2.

Наконец, вместо обратных уклонов (контруклонов), которые по замыслу Удо Гургеля устраиваются прямо по оси сочинской трассы, в местах сопряжении прямолинейных участков с виражами на входе в вираж, могут устраиваться аварийные тупики (фиг.13). Как и на финишном участке, продольный профиль аварийных тупиков очерчивается отрезком эквидистанты брахистохроны с обратными уступами 10 (фиг.12).

Математическая модель определения оптимального очертания оси виража.

Отметим, что графики, показанные на фиг.9, за исключением графика 9а, назначаются из главного условия - безопасного прохождения болида 3 по желобу 1 трассы на виражах с высокими скоростями. Основываясь на этих графиках, построим математическую модель определения оптимального очертания оси любой трассы на виражах.

Как известно из курсов теоретической механики, при движении материального тела (болида) по плоской криволинейной траектории со скоростью V возникает центробежная сила инерции F(х), направленная в наружную часть кривой и определяемая по формуле (см., например, М.М.Гернет, Курс теоретической механики, М., 1965 г., стр.189, 244 и др.):

где:

m - масса болида,

V - скорость болида,

- радиус кривизны траектории в данной ее точке.

С другой стороны, из курса дифференциальной геометрии в плоской декартовой системе координат для кривизны К имеем:

а) при задании уравнения кривой в явной форме:

б) при задании уравнения кривой в параметрической форме:

(см. И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев, Справочник по математики. М., «Наука», 1980 г., стр.723. табл.4.2)

В уравнениях (5) и (5а) штрихом обозначены производные по аргументу, точками - производные по параметру;

Сравнивая (4), (5) и (5а) можем записать:

а) для кривой, заданной в явной форме:

б) для кривой, заданной в параметрической форме:

Следует учесть, что графики зависимости центробежной силы инерции от местоположения болида (фиг.9) показаны для оси виража в развертке, в то время как варианты оси виражей (фиг.5, 6, 7) показаны для виражей без развертки. Поэтому абсциссы точек кривых на фиг.9, обозначенные через х₀, не совпадают с абсциссами точек оси виражей на фиг.5, 6, 7, хотя начало координат в обоих случаях совпадает с началом виража. В то же время кривизна оси виража по формуле (4) и по уравнениям (3) и (5) зависит от осей х, у для неразвернутой оси виража. Поэтому графики зависимости центробежной силы инерции F(x) от местоположения болида на вираже можно с точностью до множителя mV² использовать как растянутые в продольном направлении осей виражей эволюты. Их эвольвентами являются кривые осей виражей, варианты которых показаны на фиг.5, 6, 7.

А поскольку выражения кривизны оси виража в формуле (4) и в уравнениях (5) и (5а), как отмечено выше, представлены без развертки, то решение задачи об определении оптимального очертания оси каждого виража, отвечающего условию безопасного продвижения болида по криволинейному участку трассы, сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения вида (6) или (6а) движения материальной точки (материального тела) - болида. Нетрудно убедиться, что правые и левые части уравнений (6) с точностью до множителя mV² являются эволютами эвольвент, представляющих собой кривые осей виража, возможные варианты которых показаны на фиг.5, 6, 7. А так как данной эволюте соответствует бесконечное семейство эвольвент, то задача определения кривых, являющихся осью виража, имеет бесконечное множество решений. Если эвольвента задана функцией в явном виде или в параметрической форме, то определение ее эволюты сводится к простому дифференцированию функции одной переменной. Если же задана эволюта, то для нахождения ее эвольвенты приходится интегрировать нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, что само по себе является довольно сложной задачей. Однако, поскольку операция дифференцирования является некорректной, то при неточном задании функции у=f(x) или функций x=x(t), y=y(t) определение эволют может быть выполнено с большой ошибкой.

В силу же того, что операция интегрирования является корректной, рассматриваемую проблему все-таки лучше решать как нахождение эвольвенты по ее эволюте. Интегрируя уравнения вида (6) или (6а), можно получить решение с необходимой для практического использования точностью. В результате интегрирования графика изменения центробежной силы инерции по длине каждого виража мы получим нужную оптимальную траекторию, обеспечивающую безопасное прохождение болида по всему желобу трассы. На фиг.9 даны несколько вариантов эвольвент, показывающих изменение величины центробежной силы по длине виража. По оси абсцисс в развертке, как было отмечено выше, отложены расстояния от точки сопряжения прямолинейного участка с криволинейным. Рассмотрим сначала наиболее перспективные варианты изменения центробежной силы по длине виража. На фиг.9б график изменения центробежной силы имеет вид равнобедренного треугольника; на фиг.9в график представляет собой волну синусоиды: ОС и DB - четверть волны, +CAD - полуволна, С и D - точки перегиба; на фиг.9г - дан график, называемый «Локоном Аньези», С и D - точки перегиба; на фиг.9д участкам ОА и ВС на эволюте соответствуют участки переходных кривых эвольвенты, а участку АВ - круговая кривая эвольвенты; на фиг.9е эволютой является циклоида, не имеющая точек перегиба; на фиг.9ж показана укороченная циклоида с точками перегиба С и D; На графиках 9 (б÷ж) все кривые симметричны с вершиной А, лежащей на оси симметрии. График на фиг.9д представляет собой равнобокую трапецию. Все эти графики, как и бесконечное множество других графиков, не показанных в настоящем описании, могут служить примерами удачного решения проблемы плавного изменения центробежной силы на виражах и нахождения эвольвент - осей виражей.

Теперь особо остановимся на графике на фиг.9а. Горизонтальная прямая А-1, отвечающая случаю, когда болид движется с постоянной скоростью по круговой кривой, является образцом самого неудачного решения проблемы. Кривая А-2 на графике соответствует случаю, когда скорость болида на вираже возрастает, а кривая А-3 - когда скорость убывает. В итоге получается, что из бесконечного множества хороших, очень хороших, плохих и очень плохих решений Удо Гургель выбрал самое наихудшее, смертельно опасное для спортсменов.

В представленной нами математической модели безопасного продвижения болида по трассе график изменения центробежной силы инерции F(x) по длине виража ставится в соответствие криволинейной в плане оси виража. Для создания трассы с максимальной степенью безопасности эта модель открывает неограниченные возможности. Назначая комфортные графики изменения центробежных сил инерции по длине виража и интегрируя уравнения вида (6а) и (6б), можно создать такой желоб трассы, который нивелирует ошибки пилотов и на старте, и на входах в вираж, и на выходах из виража, превращая трассу в своеобразную ловушку, гарантирующую безопасный финиш болида при любых ошибках пилотов.

Дополнительные факторы, улучшающие условия безопасной эксплуатации СБТ

Следует еще обратить внимание на несколько дополнительных факторов, улучшающих условия безопасной эксплуатации сочинской (2014 г.) и других будущих трасс СБТ. Перечислим их по пунктам:

1. Максимальное использование в продольном профиле, в поперечных сечениях и в аварийных тупиках СБТ положительных кинематических свойств брахистохроны. Так, на стартовых и финишных участках СБТ (фиг.4, участок BD, фиг.10 з, и, к) следует предусмотреть отрезок кривой, эквидистантный брахистохроне, причем на финишном участке и в аварийных тупиках, во избежание откатов болидов назад, этот отрезок должен иметь обратные уступы, показанные на фиг.14.

2. Величину угла наклона днища 6 желоба на виражах (фиг.12) следует ставить в зависимость от значений центробежной силы инерции F(x) таким образом, чтобы сечения с максимальным значением центробежной силы F(x) и сечения с максимальной величиной угла наклона дна желоба совпадали.

3. Исключить из СБТ четыре обратных уклона из пяти. С этой целью продольный профиль СБТ следует выполнить с соблюдением правил трассирования линейных сооружений по принципу напряженного хода (см., стр.231-233 книги «Изыскания и проектирование железных дорог», М., изд. «Транспорт», 1970 г, автор Горинов А.В.)

4. Исключить из трассы стартовую эстакаду. Поскольку средний уклон местности в зоне олимпийского строительства больше уклона трассирования, стартовый участок трассы в форме отрезка, эквидистантного брахистохроне, может быть создан за счет грамотного проведения земляных планировочных работ, а помещение для хранения болидов и рабочего инвентаря следует расположить рядом с трассой, несколько в стороне от ее оси.

5. Поскольку при движении по прямолинейному участку трассы возможны перекосы болида, вызванные неудачным стартом или несвоевременной реакцией пилотов на входе в вираж и на выходе из виража, очертания бортов трассы, во избежание несчастных случаев, следует рассчитывать по уравнениям (8).

Дополнительный резерв безопасности СБТ

Один из дополнительных резервов безопасности любой СБТ оценим на основании фиг.10. Опрокидывание болида 3, вызванное центробежной силой инерции F(x), возможно относительно точки опирания правой пары коньков на дно желоба (точка D на фиг.12). Опрокидывающий момент М_опр определяется из выражения:

Для удерживающего момента М_уд будем иметь:

Тогда коэффициент динамической устойчивости n_у выразится следующим образом:

Если в любой момент времени n _у>1, то движение болида динамически устойчиво, и поэтому безопасно, если n_у<1, то возможно опрокидывание болида или наваливание его на правую ледяную стену желоба трассы. Возможно также соскальзывание болида вправо и, в случае вертикального борта, прижатие его к правому борту трассы. Если же правый борт трассы является кривой, эквидистантной брахистохроне, то болид может занять положение, показанное на фиг.8. Этот вариант с позиций требований стандартов безопасности эксплуатации СБТ следует признать наиболее удачным.

Рассмотрим еще случай движения болида 3 по прямолинейному участку трассы со случайным перекосом по отношению к оси (фиг.13, план).

Если борта желоба 1 трассы вертикальны, то болид 3, ударившись носовой частью под углом о правый борт, начнет разворачиваться по часовой стрелке до тех пор, пока кормовая часть не ударится о левый борт. Последствия удара могут быть следующими:

а) при недостаточной ширине а дна желоба 1 произойдет заклинивание болида 2;

б) если ширина а дна желоба 1 больше длины болида 2, то болид 2 развернется в плане по часовой стрелке и поедет дальше кормовой частью вперед;

в) болид 2 перевернется в вертикальной плоскости относительно оси передней пары коньков;

г) болид 2, скользнув правым передним краем по правому борту трассы, выправит траекторию движения и продолжит движение дальше.

Ясно, что варианты а), б), в) возможных последствий удара будут трагическими. Вариант г) является наиболее безопасным. Вариант б), как уже было сказано, имел место во время тренировочного заезда грузинского саночника Нодара Кумариташвили 12 февраля 2010 г на зимней олимпиаде в канадском Ванкувере, и привел, как известно, к трагическому исходу. С учетом сказанного, еще раз подчеркиваем, что проектирование прямолинейных участков СБТ с вертикальными бортами является грубой технической ошибкой.

Уравнение кривой, эквидистантной брахистохроне, для случая движения болида 3 по прямолинейному участку трассы с углом перекоса может быть получено из уравнения (1), если вместо линейной скорости V в числитель первого множителя подставить величину поперечной составляющей скорости Vsin и учесть возвышение центра масс болида 3 h₀ над поверхностью, контакта. Тогда уравнение эквидистанты брахистохроны, являющейся следом вертикальной фронтальной плоскости на боковой поверхности прямолинейного участка примет вид:

В уравнениях (8), (как и в уравнениях (1)):

- угловой параметр, представляющий собой удвоенный угол наклона касательной к эквидистанте брахистохроны к оси абсцисс;

Vsin - поперечная составляющая скорости болида при его случайном перекосе;

h₀ - высота расположения центра масс болида над поверхностью контакта.

Отметим еще, что на стартовом и финишном участках и в аварийных тупиках СБТ продольный профиль дна желоба 1 СБТ также очерчивается отрезками кривых, эквидистантных брахистохроне, и описывается уравнениями типа (8), но в числителе первых слагаемых этих уравнений принимается полное значение скорости движения болида 3, а не ее поперечной составляющей. Кроме того, на финишном отрезке и в аварийных тупиках, сооружаемых с контруклонами (обратными уклонами), во избежание скатывания болидов назад, в обязательном порядке устраиваются обратные уступы 10 (фиг.14). Предлагаемая математическая модель взаимодействия болида с желобом СБТ позволяет для каждого конкретного виража найти такое очертание оси, при котором движение болида 3 по виражу будет безопасным. Процедура решения этой задачи состоит из нескольких этапов:

1. Нанесение на топографический план местности ломаной линии плана трассы.

2. Вписывания во все входящие углы ломаной линии осей виражей в виде отрезков круговых кривых с учетом требований условия (2).

3. Построение комфортных графиков изменения центробежной силы по длине каждого виража (эволют) в развертке по дуге кругового отрезка сектора в развертке.

4. Интегрирование нелинейного дифференциального уравнения вида (6) для каждой развертки.

5. Построение и корректировка комфортной оси каждого виража (эвольвенты), которая автоматически будет отвечать комфортному графику изменения центробежной силы инерции (эволюты).

Процедура по п.п.3-5 выполняется для наиболее тяжелого болида - четырехместного боба. Тогда для более легких болидов - саней - условия безопасного прохождения трассы выполняется с запасом.

Предельные значения угла заклинивания и угла притирки болида

При неправильном выходе из виража на прямолинейный участок может произойти заклинивание болида 3 между бортами желоба 1, как показано на фиг.18.

Из геометрических соображений имеем:

Чтобы получить максимально возможное значение угла по (9) в качестве величин колеи k и базы b надо принимать их значения для наиболее легкого болида - одиночных саней или саней для скелетонистов.

При движении болида 3 по виражу в случае запоздалой реакции спортсмена на входе в вираж может произойти притирка (прижатие) болида 3 к наружному борту виража в двух точках (фиг.19).

Из фиг.17 имеем:

где - радиус наружной кривой виража в плане.

Чтобы получить максимальное значение угла притирки в качестве b необходимо принимать расстояние между передней и задней парами коньков 4-х местного боба.

При вычислении координат эквидистанты брахистохроны в параметрических уравнениях (8) по условиям безопасной эксплуатации СБТ для прямолинейных участков трассы под знаком синуса принимается величина угла заклинивания, определяемая по (9), а для виражей - сумма углов +, вычисляемых по (9) и (10).

1. Санно-бобслейная трасса, содержащая желоб с отбойными козырьками, состоящий в плане из ряда виражей, соединенных между собой прямолинейными участками, отличающаяся тем, что продольный профиль желоба по оси, совпадающей с серединой дна желоба во всех его поперечных сечениях в развертке, представляет собой гладкую монотонную вогнутую вверх кривую, вписанную в прямоугольный треугольник с меньшим катетом, равным разности по высоте стартового створа и финишного, и большим катетом, равным расстоянию между стартовым и финишным створами в горизонтальной проекции, причем гипотенуза построенного таким образом прямоугольного треугольника является хордой монотонной вогнутой вверх кривой, проходящей через вершину меньшего катета, совпадающую со стартовым створом, а больший катет совпадает с касательной к кривой в финишном створе.

2. Санно-бобслейная трасса по п.1, отличающаяся тем, что внутренняя поверхность желоба на виражах имеет двоякую кривизну с меньшими главными кривизнами, принадлежащими кривым, образованным пересечением желоба горизонтальными плоскостями, и большими главными кривизнами, принадлежащими кривым, образованным пересечением желоба вертикальными фронтальными плоскостями, перпендикулярными касательной к оси трассы в точке пересечения с фронтальной плоскостью, эквидистантными брахистохроне, а внутренняя поверхность желоба на прямолинейных участках имеет форму линейчатой поверхности, образованной в продольном направлении прямыми, параллельными оси участков, а в поперечном направлении в пересечении вертикальными фронтальными плоскостями, перпендикулярными оси трассы, - кривыми, также эквидистантными брахистохроне.

3. Санно-бобслейная трасса по п.1, отличающаяся тем, что для безопасного движения по трассе болидов с высокими скоростями очертание оси каждого виража в плане имеет форму эвольвенты, эволютой которой служит график изменения центробежной силы инерции болида по длине виража в его развертке на плоскость.

4. Санно-бобслейная трасса по п.1, отличающаяся тем, что продольный профиль оси дна желоба трассы состоит из стартового участка, выполненного в виде отрезка эквидистанты брахистохроны, последующего самого длинного участка, состоящего из нескольких виражей и нескольких прямолинейных отрезков, и последнего финишного участка, расположенного за пределами финишного створа и выполненного также в виде отрезка эквидистанты брахистохроны с обратным уклоном (контруклоном) и с обратными уступами, плавно сопряженного с выпуклым вверх отрезком гладкой кривой, переходящей в прямолинейный горизонтальный отрезок, причем сопряжения всех отрезков друг с другом в продольном направлении выполняются с соблюдением условий не ниже второго порядка.

5. Санно-бобслейная трасса по п.1, отличающаяся тем, что продольный профиль середины дна желоба трассы имеет форму кривой, рассчитанной из условия, чтобы расчетная скорость движения болида, набранная в конце стартового участка, оставалась постоянной до самого финиша и уменьшалась до нуля после прохождения финишной черты.

6. Санно-бобслейная трасса по п.2, отличающаяся тем, что набор следов горизонтальных плоскостей, пересекающих внутренние боковые поверхности желоба трассы, эквидистантных оси трассы, и набор следов фронтальных вертикальных плоскостей, пересекающих внутренние боковые поверхности желоба трассы по кривым, эквидистантным брахистохроне, в пересечениях образуют сетку, лежащую на поверхности двоякой кривизны на виражах, и сетку, представляющую собой линейчатую поверхность на прямолинейных участках трассы.

7. Санно-бобслейная трасса по п.1, отличающаяся тем, что дно желоба трассы на прямолинейных участках лежит в горизонтальной плоскости, а на виражах наклонено к горизонтальной плоскости под переменным углом, величина которого рассчитывается из условия динамического равновесия центробежной силы инерции болида и равнодействующей собственного веса болида при возможном его опрокидывании в поперечном направлении.

8. Санно-бобслейная трасса по п.1, отличающаяся тем, что дно желоба на виражах представляет собой линейчатую пространственную поверхность, сетка которой состоит из набора наклонных прямых с переменным углом наклона, являющихся следами пересечения виража фронтальными вертикальными плоскостями, и пространственных плавных монотонных кривых, проекции которых на горизонтальную плоскость эквидистантны оси виража в плане.

9. Санно-бобслейная трасса по п.2, отличающаяся тем, что во всех поперечных сечениях внутренней поверхности желоба сопряжения отрезков прямых дна желоба с кривыми, эквидистантными брахистохроне, выполняются с соблюдением условий не ниже второго порядка, а сопряжения отбойного козырька с боковыми поверхностями желоба в верхней точке эквидистанты брахистохроны выполняются с изломом.

10. Санно-бобслейная трасса по п.1, отличающаяся тем, что угол наклона отбойного козырька к вертикали определяется из условия:

где y_В - вертикальное расстояние от дна желоба до высшей точки эквидистанты брахистохроны в поперечном сечении трассы;

y_А - вертикальное расстояние от дна желоба до точки контакта нижней пары коньков самого тяжелого болида (четырехместного боба) с эквидистантой брахистохроны;

k - ширина колеи четырехместного боба.

11. Сянно-бобслейная трасса по п.3, отличающаяся тем, что минимальные значения радиусов вольвент по условиям безопасности движения болидов по трассе соответствуют неравенству:

в котором V - расчетная скорость движения болида по трассе;

g=9,81 м/с² - ускорение падающего тела.

12. Санно-бобслейная трасса по п.1, отличающаяся тем, что для создания дополнительных условий безопасной эксплуатации трассы в наиболее опасных ее местах желоб имеет аварийные тупики, очерченные отрезками эквидистанты брахистохроны с обратными уклонами и обратными уступами.

13. Санно-бобслейная трасса по п.1, отличающаяся тем, что на прямолинейных участках трассы внутренние боковые поверхности поперечного сечения желоба в форме эквидистанты брахистохроны выполнены с учетом предельного значения угла заклинивания болида, а на виражах - с учетом суммарной величины предельного значения угла заклинивания и угла притирки болида к наружной кривой виража.

14. Санно-бобслейная трасса по п.1, отличающаяся тем, высота внутреннего борта желоба на выходе из каждого виража больше высоты его на остальных участках желоба.