Устройство для моделирования

33I409

Союз Саеетскиа

Социалистические

Республик

ОПИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕН ИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

Зависимое от авт. свидетельства ¹â€”

Заявлено 05.1.1970 (№ 1390713/18-24) с присоединением заявки ¹ 1424769i18-24

Приоритет—

Опубликовано 07.111.1972. Бюллетень ¹ 9

Дата опубликования описания 17Л . 1972

М.Кл. G 06о 7, 68

Комитет по делаи изобретений и отнрмтей дри Совете Министров

СССР

УДК 681.333 (088.8) Ь:;

К К. Керопян, Г. В. Карандакоа а .

Авторы изобретсния

Заявитель

УСТРОЙСТВО ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

КОН ЕЧ HO-РАЗ НОСТН ЫХ 011ЕРАТОРОВ

ДИФФЕРЕН ЦИАЛ ЬН ЫХ УРА ВН EH И Й

Изобретение относится к области аналоговой вычислительной техники.

Известны трансформаторные модели, которые решают оистемы линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей. Однако сложность изготовления трансформаторов со значительным числом обмоток, каждая из которых снабжена большим числом отводов для набора различных значений коэфф ициентов, а также погрешности, обусловленные нелинейностью трансформаторов, снижают практическую ценность таких моделей.

Известные устройства на реактивных элементах решают поставленную задачу без пре:1варительной ее подготовки. Однако в этих схемах имеет место следующее. Если решает"я система, матрица которой содержит значительное число положительных и отрицательных элементов, то в моделирующей матрицу электрической схеме соответственно будет содержаться значительное число емкостных и индуктивных проводимостей. Изготовление индуктивности с высокой добротностью представляет достаточно сложную задачу, а использование индуктивностей с низкой добротностью приводит к значительным погрешностям в результатах моделирования. С другой стороны, промышленностью выпускаются емкостные проводимости с малым углом потерь, что позволяет применять их для моделирования. Указанное можно устранить, если построить моделирующую схему с минимальным числом индуктивностей, заменив, где это возможно, индуктивность емкостью.

5 Известна также квазианалоговая модель

«дзета-аналог», которая содержит одно или два квазиотрицательных сопротивления на одно неизвестное и требует обязательного предварительного аналитического приведения 3310 данной матрицы к матрице с неотрицательными элементами. При достаточно высоком порядке матрицы, эта операция трудоемка и продолжительна. Кроме того, приведение магрицы системы к матрице с неотрицательными

15 коэффициентами зачастую повышает порядок системы уравнений на величину, близкую к числу отрицательных элементов исходной матрицы.

Расширение матрицы не происходит только

20 в одном частном случае, когда речь идет о матрицах, у которых знаки соседних слагаемых в каждой строке различны, что является основной причиной того, что «дзета-аналог» Ia постоянном токе и не может быть непосред25 ственно применен (без введения добавочных отрицательных параметров в схему) для построения электрических моделей конечно-разностных операторов (дифференциальных уравнений), содержащих различные знаки побоч30 ных коэффициентов. К ним относятся конечно331409 разностные операторы бигармопических уравнений, описывающих анизотропные, ортотро Iные, изотропные плиты, оболочки находящих я под воздействием сложных систем нагрузок и ряд других операторов.

Поставленные задачи на известном «дзетааналоге» могут быть решены лишь после предварительного аналитического составления всей системы алгебраических уравнений (на основе заданного конечно-разностного оператора) с последующим ее приведением к матрице с I)еотрицательными коэффициентами. Только после этих трудоемких операций можно решать систему на упомянутой модели.

Целью предлагаемого устройства являет "я создание электрической модели системы алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, работающей на постоянном токе, что открыло бы широкие возможности модЕЛИрОВаиня СЛОЖНЫХ И ВажНЫХ ИНжЕНЕр ь)Х задач теории упругости, а также в других областях техн))AH путем построения сеточных мзделей многочисленных симметричных и несимметричных конечно-разностных оператор:зв дифференциальных уравнений и, кроме того, создание электрической аналоговой модели на переменном токе для решения системы линейных алгебраических уравнений с про)пзволыгой неособенной матрицей, содержащей минимальное число индуктивностей, что обеспечило бы широкие возможности моделирования актуальных инженерных задач путем построения сеточных моделей многочисленных симмстр )Иных и несимметричных конечно-разностпых операторов диффере))циальнысх уравнений.

Расширение круга решаемых задач в предлагаемом устройстве достигается тем, что в нем одноименные узлы верхней и нижней пары сеток соединены проводимостями, моделирующими главные коэффициенты матрицы, каждый узел первой и четвертой сеток обеих пар соединен, в зависимости от знака, со всеми узлами второй и третьей сеток проводимостям:1, моделирующими побочные коэффициенты матрицы, а между одноименными узлами первой и четвертой сеток введена компенсирующая проводи мость.

На фиг. 1 приведена принципиальная схема предлагаемой электрической модели на активных проводимостях о ;;, g )); системы двух линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, тумблеры Т) и

Т2 служат для учета знаков побочных коэффициентов а)), и имеют трп поло>кения, причем среднее поло>кение соответствует а;1„., па фиг.

2 приведена принципиальная схема предлагаемого устройства на активных проводимостях для моделирования конечно-разностного опратора дифференциального уравнения к-го порядка, содержащего четные и нечетные производные; на фиг. 3 предложена схема устройства на емкостных проводимостях для моделирования конечно-разностного оператора дифференциального уравнения к-го порядка.

Ни>ке описана электрическая модель иа акUn« — U1 (Unn Е«) gnn . л

2111

30 (U L)а

121

1 — 0

1=0

2112

U,„, 2 — — — —:-,=of

2122 (2) Е„

Un«+l„

Е, С,,„ +l„

После элементарных преобразований с учетом уравнений (3) получаем:

l«

У««, 2 1 2 " g nn (gll+g12)

«n

45 +U1,g1,1+ У2Д) =211

Un 2 1 — 2 — ")g „„— (g2 +g21) Unn

+ U1g21+ U2g 22 = 2 4

Сравнивая уравнения (4) и (1), находим, что (4) 2(I — 2 }䄄— ) „+g„) =О

«

«« (5) 1

2() — 2 " }g„„— 1 nag.„) =О

«« б .

gll — — a»i.; g;)) — — а))) 1.:, I)= — 1.1)/2= - 1.) (6)

Системы уравнений (4), (1) будут идентич60 ны при l«1„=0, откуда следует, что

gnn ь! +g12

2 (7) 1

О « — g22+g)1

55 тпвпых проводимостях для решения системы линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, которая не требует предварительной подготовки матрицы системы, подобной вышеизложенному, и содержащей только одно квазиотрицательное сопротивление на каждое неизвестное.

Поясним работу модели на примере решения системы двух уравнений. Пусть дана система

lo уравнений а))х)+а)2х2= Ь! а21-х)+а22.г2 — 1>2 I (1) определитель которой не равен нулю. На фпг.

1 показана схема электрической модели систе15 мы уравнений (1). Эта схема состоит из сдвоенных симметрично расположенных проводимостей g;; и д,;,. пропорциональных коэффиц)иентам матрицы а;; и а)), тумблеров T), Т2 для учета знаков побочных коэффициентов ам, двух источников токов I„ I2 для задания правой части системы уравнений (1) и двух источников э. д. с. Е«и Е) для создания отрицательных проводимостей gn«, д,,".

На основании первого закона К ирхгофа за25 писываем уравнение токов для двух Двойнь)х узлов аа и bb .

331409

Сопоставляя (16) и (17), находим (18)

Знак минус коэффициеи гов А; учитывается перекрещиванием концов соответствующих проводимостей, примыкающих к узлам 1 и 1, соглас.io схеме (см. фиг. 1). Приведенная на фиг. 2 четырехсеточная модель несимметричного конечно-разностного опера. гора Й-го порядка в литературе неизвестна и является следствием предлагаемой модели системы линейных алгебраических уравнений. Данная модель может найти применение при решении бигармонических задач теории упругости и в других областях техники.

Для симметричного конечно-разностиого оператора модель упрощается: вместо четырех сеток остаются две сетки с вертикальными и перекрестными проводимостями. Заметим, что симметричный конечно-разностный оператор аппроксимирует дифференциальное уравнения

A- о порядка, соде ржанине тол ько чстHÎI е производные. К таким уравпсниям, например, относятся бигармонические уравнения теории упругости без учета объемных сил в декартовых координатах. Бигармоническое уравнение в полярных координатах содержит нечетные производные и, следовательно, конечно-разностный оператор несимметричен. Б этом случае он моделируется по схеме фиг. 2.

Легко видеть, что вышеизло>кенное может быть распространено па конечно-разпостный оператор дифференциального уравнения от трех переменных х, у, z и т. д. На фиг. 3 показана электрическая модель несимметричного

5 конечно-разностного оператора дифференциального уравнения Й-го порядка, содержащего четные и нечетные производные с применением емкостных проводимостей. Это устройство отличается от ранее рассмотренного тем, 10 что активные проводимости (см. фиг. 1) заменены емкосгными проводимостями, а узловые п ро води мости — индуктивн ы ми. Бл агодаря этому устраняются квазиотрицательное сопротивление и процесс его настройки, а число индуктивных проводимостей сводится к минимумч.

Предмет изобретения

Устройство для моделирования конечно-разностных операторов дифференциальных уравнений Й-го порядка и систем алгебраических уравнений с произвольной неособенной магрицей, содержащее сетки из проводимостей и подключенные к ним источники питания, моде2> лирующие коэффициенты матрицы и свободные члены уравнений, отличающееся тем, что, с целью расширения круга решаемых задач, в нем одноименные узлы двух пар сеток соединены проводимостями, моделирующими глав30 ные коэффициенты матрицы, каждый узел первой и четвертой сеток обеих пар соединен со всеми узлами второй и третьей сеток проводимостями, моделирующими побочные коэффициенты матрицы, а между одноименными узлами первой и четвертой сеток включена компенсирующая проводимость.

331409

Составитель E. Тимохина

Корректор Т, Миронова

Техред Л. Евдонов

Редактор А. Батыгин

Областная типография Костромского управления по печати

Заказ,1455 Изд. № 30l Тираж 448 Подписчое.

ЦНИИПИ Комитета по делам изобретений и открытий при Совете Министров СССР

Москва, 7К-35, Раушская наб., д. 4/5