Устройство для извлечения корня квадратного из суммы квадратов n величин
Использование: в вычислительной технике в качестве прецизионного функционального преобразователя при определении модуля вектора. Сущность изобретения: устройство содержит n блоков выделения модуля, входы которых являются входами устройства, амплитудный селектор, n управляемых делителей напряжения и сумматор с управляемым коэффициентом усиления, выход которого является выходом устройства. Повышение точности вычисления модуля вектора достигается за счет анализа соотношений между величинами входных сигналов. 2 ил.
Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике, а именно к устройствам извлечения корня квадратного из суммы квадратов нескольких величин, и может быть использовано в вычислительных устройствах для преобразования координат, определения суммарного вектора, когда требуются точность преобразования и высокое быстродействие.
Известно устройство на квадратичных преобразователях, сумматоре и устройстве извлечения квадратного корня. Такое устройство может обладать высоким быстродействием, однако большое количество функциональных преобразо- вателей ограничивает точность измерений. Известно устройство для извлечения корня, содержащее три амплитудных модулятора, генератор синусоидальных напряжений, два сумматора, фазовращатель, ограничитель, детектор и фильтр. Устройство осуществляет сложение модулированных по амплитуде высококачественных колебаний напряжений, сдвинутых по фазе относительно друг друга, и выделение огибающей суммарного сигнала. Устройство ограничено по быстродействию и точности измерений. Количество преобразуемых величин ограничено тремя входными сигналами. Известно устройство для извлечения корня квадратного из суммы квадратов n величин, содержащее операционный усилитель, выход которого является выходом устройства, n инверторов, входы которых являются входами устройства, n блоков выделения модулей, каждый из которых выполнен на n двухвходовых диодных элементах, подключенных входами к входам и выходам соответствующих инверторов и n резистивных звезд с n+1 входами каждая. Устройство обладает высоким быстродействием, в нем нет сложных элементов, однако наличие большого количества диодов ограничивает точность измерений из-за падения на них напряжения, а использование кусочно-линейной аппроксимации увеличивает методическую погрешность измерений, которая при n 2 составляет 2% а при n 3 более 4% Наиболее близким техническим решением к предлагаемому по большему количеству сходных существенных признаков и достигаемому эффекту является устройство для извлечения квадратного корня из суммы квадратов n величин, содержащее n блоков выделения модуля сигналов, подключенных входами к входам устройства с первого по n-й соответственно, трехвходовый блок вычисления максимума, три двухвходовых блока вычисления максимума минимума, входы которых подключены к выходам блоков выделения модулей, а выходы подключены к входам многовходового сумматора на операционном усилителе с резистивной обратной связью. Устройство простое по конструкции и построено на принципе кусочно-линейной аппроксимации искомого выражения суммой из комбинации входных напряжений, которые в зависимости от их соотношений складывают с постоянными коэффициентами, задаваемыми соотношением сопротивлениями резистора обратной связи ОУ и сопротивлений его входных резисторов. Количество преобразуемых величин ограничено тремя, а точность преобразования не велика и ограничена точностью аппроксимации. Методическая погрешность составляет около 4% Целью изобретения является расширение функциональных возможностей при уменьшении погрешности преобразования. Это достигается тем, что в устройство для извлечения корня квадратного из суммы квадратов n величин, содержащее n блоков выделения модуля, подключенных входами к входам устройства с первого по n-й соответственно, и сумматор, выход которого является выходом устройства, введены амплитудный селектор, n управляемых делителей напряжения, а сумматор выполнен с управляемым коэффициентом усиления, причем информационный вход каждого управляемого делителя напряжения соединен со своим управляющим входом, выход амплитудного селектора по максимальному сигналу подключен к управляющему входу сумматора с управляемым коэффициентом усиления, выходы амплитудного селектора с первого по n-й через соответствующий управляемый делитель напряжения подключен к информационным входам сумматора с управляемым коэффициентом усиления с первого по n-й соответственно. На фиг.1 изображена функциональная схема устройства. Устройство для извлечения корня квадратного из суммы квадратов n величин содержит блоки 1-1,1-2,1-n выделения модуля; амплитудный селектор 2; управляемые делители напряжения 3-1,3-2,3-n; сумматор 4 с управляемым коэффициентом усиления. Блоки в устройстве соединены следующим образом. Входы блоков 1-1,1-2,1-n выделения модуля с первого по n-й подключены к входам устройства с первого по n-й соответственно. Выходы блоков 1-1,1-2,1-n выделения модулей с первого по n-й подключены к входам амплитудного селектора 2 с первого по n-й соответственно. Информационный вход каждого управляемого делителя напряжения 3i соединен со своим управляющим входом. Первый выход амплитудного селектора 2 по сигналу максимальной амплитуды подключен к управляющему входу сумматора 4 с управляемым коэффициентом усиления. Выходы амплитудного селектора 2 с первого по n-й подключены к информационным входам управляемых делителей напряжения 3-1,3-2,3-n с первого по n-й соответственно. Выходы управляемых делителей напряжения 3-1,3-2,3-n c первого по n-й подключены к информационным входам сумматора 4 с управляемым коэффициентом усиления с первого по n-й соответственно. Выход сумматора 4 с управляемым коэффициентом усиления является выходом устройства. На фиг.2 изображен амплитудный селектор 2 для n 3. В его состав входит трехвходовый блок 5 выделения максимального сигнала, трехвходовый блок 6 выделения среднего из трех сигналов и алгебраический сумматор 7, причем три входа с первого по третий каждого из этих блоков подключены к входам амплитудного селектора с первого по третий соответственно. Выход блока 6 выделения среднего из трех сигналов подключен к четвертому входу алгебраического сумматора. Выход блока 5 выделения максимального сигнала подключен к пятому входу алгебраического сумматора. Выход блока 5 выделения максимального сигнала, выход блока 6 выделения среднего из трех сигналов и выход алгебраического сумматора 7 являются выходами амплитудного селектора соответственно с первого по третий. При n > 3 используют несколько амплитудных селекторов, изображенных на фиг.2, несколько двухвходовых блоков для выделения максимального и минимального сигналов, несколько многовходовых блоков для выделения максимального сигнала, которые используют для последовательного сравнения и выделения общего сигнала из выделенных максимальных сигналов в группах, выделения максимального сигнала из оставшихся максимальных и медианных (средних) из оставшихся максимальных и медианных сигналов и так далее. Устройство работает следующим образом. На входы устройства с первого по n-й поступают входные сигналы напряжения Ux1, Ux2,Uxn. Эти сигналы поступают на соответствующий блок 1-1,1-2,1-n выделения модуля, на выходах которых получают сигналы напряжений IUx1I, IUx2I, IUxnI соответственно. Эти напряжения поступают на входы с первого по n-й амплитудного селектора 2 соответственно. С первого выхода амплитудного селектора 2 снимают сигнал максимальной амплитуды напряжения U2-1 Umax; с второго снимают сигнал напряжения U2-2, причем U2-2 < U2-1, с третьего сигнал напряжения U2-3, причем U2-3![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/8773.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/8805.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/8805.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/8805.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/8773.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/8773.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806605.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806606.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806607.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806608.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806609.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/8805.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/8805.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/8805.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/8805.gif)
U3-i (U2-i)/(KoKi) (3) где Ko показывает, во сколько раз напряжение на первом выходе амплитудного селектора 2 меньше максимально возможного:
Кi показывает, во сколько раз напряжение на i-м выходе амплитудного селектора 2 меньше напряжения на первом выходе. Эти напряжения U3-i умножаются на общий коэффициент усиления Ко и на коэффициенты передачи а(n) по соответствующим входам управляемого сумматора и суммируются. Следовательно, на выходе управляемого сумматора 4 всегда будет выходное напряжение, равное U4 Uвых, которое определяют с помощью следующего выражения: U4 [(U2-1)a(1)/Ko]Ko + [(U2-2)a)(2)/KoK2]Ko +
+. + [(U2-n)a(n)/KoKn]Ko (U2-1)a(1) +
+[(U2-2)a(2)/K2] ++ [(U2-n)a(n)/Kn (4) После подстановки численных значений коэффициентов а(n) в выражении (4) получим значения выходного напряжения Uвых:
Uвых= U2-1+(U2-2)0,4142/K2+.+(U2-n)[
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806611.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806612.gif)
Полученное выражение (5) аппроксимирует требуемую функцию. Для анализа полученного выражения (5) рассмотрим выражение для корня квадратного из суммы n величин входных напряжений:
Uz=
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806613.gif)
Выражение (6) можно представить следующим образом:
Uz= Umax
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806614.gif)
К2, К3,Кn коэффициенты, показывающие во сколько раз второй, третий, n-й сигналы по модулю меньше сигнала Umax. Полученное выражение (5) можно представить в следующем виде:
Uвых Umax[1 + a(2)/(K2)2 + a(3)/(K3)2, +
+ a(n)/(Kn)2] (8) Приравняем выражения (5) и (8) и определим, с какой точностью справедливо такое равенство. Поделив на значения максимальных по модулю сигналов Umax, получим:
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806615.gif)
(9)
Следовательно, определение корня квадратного из суммы квадратов n величин с помощью полученного выражения (5) будет иметь погрешность преобразования, которую можно установить, анализируя выражение (9). Коэффициенты а(n) могут быть подобраны таким образом, чтобы с минимальной погрешностью обеспечить равенство (9). Например, при выборе a(n)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806616.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806617.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806618.gif)
По исходному условию K2 Umax/Umid, K3 Umax/Umin
Выражение (11) можно представить в следующем виде:
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806619.gif)
Следовательно, нужно выбрать такие значения коэффициентов а(n), чтобы погрешность выражения (9) была минимальна. Предположим, что Ux3 намного меньше двух других напряжений, тогда выражение (11) упрощается и сводится к выражению:
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806620.gif)
(12)
Погрешность q1 при выполнении равенства (12) будет равна:
q1=([K2+0,4142/K2]/[
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806621.gif)
(13)
Из выражения (13) определим значение коэффициента К2, при котором погрешность q1 будет иметь экстремальное значение. Для этого определим выражение для производной (q1) и, приравняв ее к нулю, определим К2(q1экс) 0,4142/(1 0,8284) 1,5536. Этому значению К2 (при К3 >> K2) будет соответствовать величина экстремальной погрешности, равная q1экс -0,0148, что соответствует -1,48% Так как погрешности имеют одинаковый знак, то, применив постоянный множитель, равный К01 1,0074, можно обеспечить погрешность преобразования q1/2, т.е. q1
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/177.gif)
Оценим величину погрешности при произвольном значении Ux3, т.е. при различных соотношениях коэффициентов К2 и К3. При К3 >> К2 коэффициент а(3) оказывает минимальное влияние на результат измерений, что видно из выражения (9), а величина погрешности в этом случае (фактически при n 2), как было показано, не превышает значение +-0,74%
Определить погрешность преобразования при использовании полученного выражения (5) можно из выражения (9). Обозначим левую часть равенства (9) через L, а правую часть через Р, тогда погрешность q(n) будет иметь вид:
q(n)[P(n) L(n)]/L(n)} 100% (14) где Р(n) [1 + a(2)/(K2)2 + a(3)/(K3)2 +. + +a(n)/(Kn)2]
L(n)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/280/2806622.gif)
Из выражения (14) определим погрешность q2 для n 3. Определим значения ошибки q2 в окрестности значений К2 1,55, соответствующих экстремуму q1. Получим такие параметры: если К2 К3 1,55, то q2 -3,58% если К2 К3 1,5, то q2 -3,57% если К2 К3= 1,6, то q2 -3,65% если К2 К3 1,7, то q2 -3,64%
Как видно из приведенных значений погрешностей, q2 имеет экстремальное значение около -3,65% Это означает, что напряжение Uвыхна выходе сумматора 4 с управляемым коэффициентом усиления будет получаться меньше истинного значения максимально в 1, 038 раза. Чтобы получить методическую погрешность измерений в 2 раза меньше, т.е. около 1,9% следует увеличить выходное напряжение устройства в 1, 019 раза, т.е. увеличить в 1,019 раза все коэффициенты a(1), а(2), а(3). Такая коррекция выходного напряжения осуществляется с помощью выбора значений резисторов сумматора 4 с регулируемым коэффициентом усиления. Если входной резистор по 1-му входу R1; входной резистор по 2-му входу R2; входной резистор по 3-му входу R3; резистор обратной связи Roc, то 1,019 a(1) Roc/R1 1,019; 1,019
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/729.gif)
![](https://img.poleznayamodel.ru/chr/729.gif)
Формула изобретения
РИСУНКИ
Рисунок 1, Рисунок 2