Способ управления полетом беспилотного летательного аппарата
Изобретение относится к способам управления полетом беспилотных летательных аппаратов (БПЛА). На БПЛА устанавливают приемник спутниковой системы навигации (ПССН) и радиопередатчик (РПРИ) информации о фактических параметрах полета БПЛА, а на наземной станции управления (НСУ) устанавливают радиоприемник (РПИ) этой информации. Последовательно в память вычислителя (В) НСУ вводят значения (3) географических широты (ГШ), долготы (ГД) и высоты (Н) над уровнем моря точки начала каждого участка программной траектории (ПТ) БПЛА, вычисляют потребные 3 Fп, углов ориентации (УО) вектора
скорости БПЛА на каждом участке ПТ и запоминают их. В полете БПЛА с помощью ПССН определяют 3 ГШф, ГДф, Нф точки Л фактического местоположения БПЛА, а также проекций Vx, Vy, Vz вектора
на оси соответствующей системы координат. С помощью РПРИ передают ГШф, ГДф, Нф, Vx, Vy, Vz на НСУ, где с помощью РПИ принимают их и подают в В, где вычисляют отклонения Lг и Lв фактической траектории БПЛА от ПТ, фактические значения Fф,
ф УО вектора
, разности dF углов Fп и Fф и разности d
углов
п и
ф, формируют команды управления (КУ), зависящие от Lг, Lв, dF и d
, передают КУ на БПЛА, где принимают их и отклоняют рули БПЛА в соответствии с КУ. Изобретение позволяет снизить массу устройств, используемых для определения отклонения фактической траектории БПЛА от его программной траектории, что и является достигаемым техническим результатом. 3 ил.
Изобретение относится к способам управления полетом беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) и может быть использовано при создании новых и модернизации существующих БПЛА.
Известен способ управления полетом БПЛА [1], который состоит в том, что предварительно на борт БПЛА устанавливают бортовой компьютер (БК) и приемник спутниковой системы навигации (ПССН), а в БК вводят координаты поворотных пунктов маршрута (ППМ) полета БПЛА по программной траектории, в процессе полета на БПЛА с помощью АССН определяют координаты его текущего местоположения (КТМ) в полете по фактической траектории, подают значения КТМ в БК, где с использованием их определяют отклонение фактической траектории полета БПЛА от его программной траектории и формируют команды управления для коррекции фактической траектории полета БПЛА, которые с выхода БК подают в автопилот БПЛА для соответствующего отклонения рулей БПЛА.
Недостатком этого способа является увеличение стоимости БПЛА, обусловленное установкой на него дорогостоящего БК, который должен обладать высоким быстродействием, а также малой массой и габаритами при установке его на малоразмерный БПЛА.
Известен также способ управления полетом БПЛА [2], который состоит в том, что предварительно устанавливают на БПЛА объединенный модуль автопилота (АП) и радиоприемника (РПр) радиокомандной линии управления, а также радиолокационный ответчик (РЛО), а на наземной станции управления (НСУ) предварительно устанавливают радиолокационную станцию (РЛС) сопровождения БПЛА, процессор обработки (ПрО) данных РЛС, устройство сопряжения (УС), вычислитель (ЭВМ), шифратор (Ш) и радиопередатчик (РП) команд управления, в память ЭВМ предварительно вводят параметры программной траектории полета БПЛА, а в процессе полета БПЛА с помощью РЛС посылают на БПЛА радиолокационные сигналы (PC), с помощью приемника РЛО принимают на БПЛА эти PC, обрабатывают их в блоке управления РЛО и с помощью передатчика РЛО излучают ответные радиолокационные сигналы (ОРС), принимают на НСУ эти ОРС с помощью РЛС, в которой в результате их обработки формируют команды на поворот антенны РЛС по азимуту и углу места для слежения за БПЛА, и поворачивают эту антенну по азимуту и углу места в соответствии с этими командами, с выхода РЛС принятые ОРС также подают на вход ПрО, сигналы, полученные в результате обработки ОРС в ПрО, с выхода ПрО через УС подают на ЭВМ, где с использованием их определяют отклонение фактической траектории БПЛА от его программной траектории, и в соответствии с этим отклонением формируют команды управления для коррекции фактической траектории полета этого аппарата, которые шифруют в шифраторе и с помощью РП передают на БПЛА, где с помощью РПр принимают эти команды, дешифрируют их и подают в АП для соответствующего отклонения рулей и элеронов БПЛА.
Недостатком этого способа является большая масса устройств, используемых для определения отклонения фактической траектории полета БПЛА от его программной траектории.
Прототипом заявляемого изобретения следует считать способ управления полетом БПЛА [2], общими признаками которого с заявляемым изобретением является то, что предварительно устанавливают на БПЛА автопилот (АП) и радиоприемник (РПр) радиокомандной линии управления, на наземной станции управления (НСУ) предварительно устанавливают вычислитель (ЭВМ), шифратор (Ш) и радиопередатчик (РП) команд управления, в память ЭВМ предварительно вводят параметры программной траектории полета БПЛА, в процессе полета БПЛА в ЭВМ определяют отклонение фактической траектории БПЛА от его программной траектории и в соответствии с этим отклонением формируют команды управления для коррекции фактической траектории полета этого аппарата, которые шифруют в шифраторе и с помощью РП передают на БПЛА, где с помощью РПр принимают эти команды, дешифрируют их и подают в АП для соответствующего отклонения рулей и элеронов БПЛА.
Кроме того, в прототипе предварительно устанавливают на БПЛА радиолокационный ответчик (РЛО), а на НСУ предварительно устанавливают радиолокационную станцию (РЛС) сопровождения БПЛА, процессор обработки (ПрО) данных РЛС и устройство сопряжения (УС), а в процессе полета БПЛА с помощью РЛС посылают на БПЛА радиолокационные сигналы (PC), с помощью приемника РЛО принимают на БПЛА эти PC, обрабатывают их в блоке управления РЛО и с помощью передатчика РЛО излучают ответные радиолокационные сигналы (ОРС), принимают на НСУ эти ОРС с помощью РЛС, в которой в результате их обработки формируют команды на поворот антенны РЛС по азимуту и углу места для слежения за БПЛА, и поворачивают эту антенну по азимуту и углу места в соответствии с этими командами, а также с выхода РЛС принятые ОРС подают на вход ПрО и сигналы, полученные в результате обработки ОРС в ПрО, с выхода ПрО через УС подают на ЭВМ.
Недостатком этого способа является большая масса устройств, используемых для определения отклонения фактической траектории БПЛА от его программной траектории.
Это обусловлено следующим. В прототипе масса Муп устройств, используемых для решения задачи определения отклонения фактической траектории БПЛА от его программной траектории, равна
где Мбпп - масса устройств, устанавливаемых в прототипе на БПЛА для решения этой задачи; Мнсп - масса устройств, которые устанавливают в прототипе на НСУ для решения этой задачи; Мрло - масса радиолокационного ответчика БПЛА; Мрлс - масса РЛС сопровождения БПЛА; Мпро - масса процессора обработки данных РЛС; Мус - масса устройства сопряжения; Мэвм - масса ЭВМ.
Радиолокационный ответчик (РЛО) состоит из антенны, приемника РЛО, передатчика РЛО и блока управления РЛО, куда входят дешифратор запроса, схема кода ответа, схема АРУ и схема запирания (А.А.Куликовский (ред.), "Справочник по радиоэлектронике", - М: Энергия, 1970 г., т. 3, стр. 429). С учетом этого значение Мрло можно определить выражением
где Марло - масса антенны РЛО; Мпрло - масса приемника РЛО; Мбурло - масса блока управления РЛО; Мпррло - масса передатчика РЛО.
РЛС сопровождения обычно является электронно-электромеханическим устройством, в состав которого входят антенна с облучателем, установленная на поворотном устройстве, позволяющем изменять ее положение по азимуту и углу места, следящий привод, передатчик, гетеродинный приемник и электронные блоки (М.Сколник (ред.), "Справочник по радиолокации", в 4 т., - М.: Советское радио, 1978 г., т. 4, стр. 7-67). В качестве следящего привода антенны часто используют электрический следящий привод, состоящий из электрического двигателя, механического редуктора и электронных блоков.
Предположим, что следящие приводы поворота антенны по азимуту и углу места одинаковы. Тогда значение Мрлс можно определить выражением
где Ма – масса антенны; Мпу - масса поворотного устройства; Мпрлс - масса передатчика РЛС; Мгп - масса приемника РЛС; Мдв - масса электродвигателя; Мред - масса редуктора; Мэб - масса электронных блоков РЛС. Мпу зависит от размеров поворотного устройства, которые определяются размерами антенны, установленной в нем. Размеры антенны и ее масса Ма зависят от частоты F электромагнитного излучения и максимальной дальности Дmах действия РЛС. Значения Мпрлс и Мгп также зависят от F и Дmах. Электродвигатель РЛС должен иметь большую мощность Nдв для обеспечения быстрого поворота антенны, а Мдв увеличивается с ростом Nдв. Увеличение Nдв вызывает также рост Мред, что обусловлено необходимостью обеспечения прочности зубчатых передач редуктора при большой мощности, передаваемой им.
ПрО, УС, ЭВМ и РЛО являются радиоэлектронными устройствами, и при современной элементной базе радиоэлектроники их масса Мэу
может быть сравнительно небольшой.
Этот анализ показывает, что при соответствующих значениях потребной скорости слежения за БПЛА, F и Дmах масса Мрлс РЛС сопровождения БПЛА является большой, а так как Мрлс в значительной степени определяет Мну (1), то большой будет и масса Мну устройств, используемых в прототипе для определения отклонения фактической траектории БПЛА от его программной траектории.
Целью изобретения является устранение указанного недостатка прототипа, а именно уменьшение массы устройств, используемых для определения отклонения фактической траектории БПЛА от его программной траектории.
Достигается эта цель тем, что предварительно на БПЛА устанавливают приемник спутниковой системы навигации (ПССН) и радиопередатчик информации о фактических параметрах полета БПЛА (РПРИ), а на НСУ предварительно устанавливают радиоприемник этой информации (РПИ). В вычислителе НСУ предварительно для каждого участка программной траектории БПЛА вычисляют потребные значения углов Fп и п ориентации соответственно в горизонтальной и вертикальной плоскостях вектора
скорости БПЛА и запоминают в вычислителе значения этих углов. В процессе полета БПЛА с помощью ПССН определяют значения географической широты ГШф, географической долготы ГДф и высоты Нф над уровнем моря точки Л фактического местоположения БПЛА, а также значения проекций Vx, Vy, Vz вектора
на оси прямоугольной системы координат AXYZ, начало которой находится в точке Л; ось ЛХ направлена по касательной к географической параллели, проходящей через точку Л, ось AZ направлена по касательной к географическому меридиану, проходящему через эту точку, а ось ЛY направлена перпендикулярно плоскости ЛХZ. С помощью РПРИ передают значения ГШф, ГДф, Нф, Vx, Vy, Vz на НСУ, где с помощью РПИ принимают эти значения и с выхода РПИ подают эти значения на соответствующий вход вычислителя, где с использованием их вычисляют фактические значения углов Fф и
ф ориентации соответственно в горизонтальной и вертикальной плоскостях вектора
, значения разности dF углов Fп и Fф и разности d
углов
п и
ф, и формируют составляющие команд управления, пропорциональные соответственно значениям dF и d
.
Сущность предлагаемого способа поясняется схемами, изображенными на фиг.1, фиг.2 и фиг.3.
На фиг. 1 изображена схема определения отклонения фактического положения БПЛА в горизонтальной плоскости от программной траектории на i-том участке этой траектории, а также отклонения фактического направления вектора Vгл скорости БПЛА в горизонтальной плоскости от требуемого направления этого вектора при полете БПЛА по программной траектории.
На фиг.2 изображена схема определения отклонения фактического положения БПЛА в вертикальной плоскости от программной траектории на i-том участке программной траектории, а также отклонения фактического направления вектора скорости БПЛА в вертикальной плоскости от требуемого направления этого вектора при полете БПЛА по программной траектории.
На фиг.3 изображена блок-схема возможного варианта устройства, реализующего предложенный способ.
На фиг. 1 обозначено: Oi - точка начала i-того участка программной траектории БПЛА; OiXYZ - прямоугольная система координат, начало которой находится в точке Oi, ось OiX направлена на восток по касательной к географической параллели, проходящей через точку Oi, ось OiZ направлена на север по касательной к географическому меридиану, проходящему через точку Oi, а ось OiY направлена вверх перпендикулярно плоскости OiXZ; Пг - проекция на плоскость OiXZ (горизонтальную) точки Пi конца этого участка; Лг - проекция точки Л фактического положения БПЛА на эту плоскость; ЛXYZ - прямоугольная система координат, начало которой находится в точке Л, ось ЛХ направлена на восток по касательной к географической параллели, проходящей через точку Л, ось ЛZ направлена на север по касательной к географическому меридиану, проходящему через точку Л, а ось ЛY направлена вверх перпендикулярно плоскости ЛXZ; А - проекция точки Лг на прямую линию OiПг; Хпг, Zпг - координаты точки Пг; Хлг, Zпг - координаты точки Лг; - проекция вектора
скорости БПЛА на плоскость 0iXZ; Fпi - потребное значение угла истинного курса БПЛА на этом участке программной траектории; Fф - фактическое значение угла истинного курса БПЛА в точке Л; Fфi - угол ориентации прямой линии OiЛг относительно географического меридиана.
На фиг.2 обозначено: Пi - точка конца i-того участка программной траектории БПЛА; Л - точка фактического положения БПЛА; В -проекция точки Л на прямую OiПi; - вектор скорости БПЛА;
пi - потребное значение угла тангажа вектора скорости БПЛА на этом участке программной траектории;
ф - фактический угол тангажа вектора V в точке Л;
iл - угол ориентации прямой линии OiЛ в плоскости OiXY, являющейся вертикальной плоскостью; Hoi - высота точки Oi над уровнем моря (УМ); Нл - высота точки Л над уровнем моря. Остальные обозначения аналогичны обозначениям на фиг.1.
На фиг.3 обозначено: 1 - вычислитель (В); 2 - наземная станция управления (НСУ); 3 - приемник спутниковой системы навигации (ПССН); 4 - беспилотный летательный аппарат (БПЛА); 5 - радиопередатчик информации о фактических параметрах полета БПЛА (РПРИ); 6 - радиоприемник информации о фактических параметрах полета БПЛА (РПИ); 7 - шифратор (Ш); 8 - радиопередатчик команд управления (РП); 9 - радиоприемник радиокомандной линии управления (РПр); 10 - автопилот (АП).
Сущность способа состоит в следующем.
Предварительно в память вычислителя (В), который установлен на наземной станции управления (НСУ), вводят параметры программной траектории полета БПЛА. Пусть этими параметрами являются значения ГШi географической широты, ГДi географической долготы и Hi высоты над уровнем моря точки Oi начала каждого i-того участка из N участков, на которые разбит заданный маршрут полета БПЛА. Очевидно, что точка конца этого i-того участка является точкой начала следующего (i+1) -го участка. Кроме того, предварительно по формулам, полученным в результате анализа схем, показанных на фиг.1 и фиг.2, вычисляют значения Fпi и пi потребных углов ориентации вектора скорости БПЛА на каждом участке программной траектории
и также вводят эти параметры в память В НСУ.
В процессе полета БПЛА на нем с помощью приемника спутниковой системы навигации (ПССН) определяют значения географической широты ГШл, географической долготы ГДл и высоты Нл над уровнем моря точки Л фактического местоположения БПЛА, а также значения проекций Vx, Vy, Vz вектора на оси системы координат ЛXYZ. Значения ГШл, ГДл, Нл, Vx, Vy, Vz с выхода ПССН подают на вход радиопередатчика информации (РПРИ) о фактических параметрах полета БПЛА, с помощью которого передают эту информацию на НСУ, где эту информацию принимают с помощью РПИ. С выхода РПИ принятые значения ГШл, ГДл, Нл, Vx, Vy, Vz подают на вход В, где с использованием их, а также предварительно полученных значений ГШi, ГДi, Hi, Fпi и
пi на каждом участке программной траектории БПЛА вычисляют текущие значения Lалi и Lвлi отклонений фактической траектории БПЛА от его программной траектории в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответственно.
Эти вычисления проводят по следующим формулам, полученным в результате анализа схем, изображенных на фиг.1 и фиг.2:
Ар, Ер - соответственно длина большой полуоси и эксцентриситет референц-эллипсоида Земли.
Кроме того, в В вычисляют также текущее значение dFлi отклонения угла Fф от Fпi и текущее значение dпi отклонения угла
ф от
пi. Эти вычисления проводят по следующим формулам, подученным в результате анализа схем, изображенных на фиг.1 и фиг.2:
С использованием вычисленных значений Laлi, Lвлi, dFлi, dOлi в В формируют команды управления Uг и Uв для коррекции траектории полета БПЛА соответственно в горизонтальной и вертикальной плоскостях
где Клг, Клв, Kvг, Кvв - соответствующие коэффициенты.
Команды управления Uг и Uв с выхода В подают на вход шифратора (Ш), в котором шифруют эти команды, и с выхода Ш зашифрованные команды управления подают на вход радиопередатчика (РП) команд управления, с помощью которого их передают на БПЛА. С помощью радиоприемника (РПр) радиокомандной линии управления на БПЛА принимают эти команды управления, дешифрируют в РПр и с выхода РПр подают их в АП для соответствующего отклонения рулей и элеронов БПЛА.
Таким образом, в заявляемом способе для решения задачи определения отклонения фактической траектории полета БПЛА от его программной траектории используют ПССН и РПРИ на БПЛА, а также РПИ и В на НСУ. Следовательно, масса Муз устройств, которые используют в заявляемом способе для решения этой задачи, определяется выражением, подобным выражению (1)
где
где Мбпз - масса устройств, устанавливаемых на БПЛА для решения этой задачи заявляемым способом; Мнсз - масса устройств, устанавливаемых на НСУ для решения этой задачи заявляемым способом; Мпс - масса приемника системы спутниковой навигации; Мрпри - масса радиопередатчика информации о параметрах полета БПЛА; Мрпи - масса радиоприемника информации о параметрах полета БПЛА; Мв - масса вычислителя.
Сравнение выражений (2) и (4) с выражением (23) позволяет считать, что
так как для решения задачи определения отклонения фактической траектории БПЛА от программной траектории и при использовании прототипа, и при использовании заявляемого способа на БПЛА нужно установить приемное и передающее радиотехнические устройства.
Для сравнения Мнсп и Мнсз сделаем довольно обоснованные допущения о том, что
так как приемник РЛС в прототипе и радиоприемник ПРИ в заявляемом способе являются приемными радиотехническими устройствами, и
так как ЭВМ в прототипе и вычислитель в заявляемом способе являются электронными вычислительными устройствами, которые должны выполнять примерно одинаковый объем вычислений с одинаковой скоростью. Тогда с учетом выражений (3), (5), (24), (26), (27) получим
где dMнcп - превышение массы устройств, используемых на НСУ для решения задачи определения отклонения фактической траектории БПЛА от программной траектории в прототипе, над массой таких устройств, используемых для решения этой задачи заявляемым способом, которое с учетом выражений (3), (5), (26), (27), (28) определяется выражением
Таким образом, с учетом выражений (1), (22), (25), (28) можем записать
и
что и доказывает достижение цели изобретения.
В состав устройства, реализующего предложенный способ (фиг.3), входят элементы, установленные на НСУ 2, и элементы, установленные на БПЛА 4. На НСУ 2 установлены В 1, РПИ 6, Ш 7 и РП 8, причем первый вход В 1 электрически связан с выходом системы ввода параметров программной траектории полета БПЛА, а второй вход В 1 электрически связан с выходом РПИ 6, первый выход В 1 электрически связан с первым входом Ш 7, второй выход В 1 электрически связан со вторым входом Ш 7, а выход Ш 7 электрически связан с входом РП 8. На БПЛА 2 установлены ПССН 3, РПРИ 5, РПр 9 и АП 10, причем выход ПССН 3 электрически связан с входом РПРИ 5, а выход РПр 9 электрически связан с входом АП 10.
Работает это устройство следующим образом.
В память В 1, установленного на НСУ 2, предварительно вводят координаты ГШi, ГДi, Hi (i=1, 2,..., N) начальных точек каждого из N прямолинейных участков программной траектории полета БПЛА, по формулам (7), (8) вычисляют значения Fпi, пi и запоминают в В 1 эти значения. В процессе полета БПЛА с помощью ПССН 3, установленного на БПЛА 4, определяют текущие значения ГШф, ГДф, Нф координат местоположения БПЛА и текущие значения Vx, Vy, Vz составляющих скорости полета БПЛА. С выхода ПССН 3 значения ГШф, ГДф, Нф, Vx, Vy, Vz подают на вход РПРИ 5 и с помощью РПРИ 5 передают их на НСУ 2, где их принимают с помощью РПИ 6. С выхода РПИ 6 принятые значения ГШф, ГДф, Нф, Vx, Vy, Vz подают на соответствующий вход В 1, где вычисляют значения Lai и Lвi по формулам (9),..., (15), а также значения dFлi, dOлi по формулам (16),..., (19) и команды управления Uг (20), Uв (21). С выходов В 1 значения Uг, Uв подают на соответствующие входы Ш 7, с выхода которого зашифрованные команды управления подают на вход РП 8, с помощью которого их передают на БПЛА 4. На БПЛА 4 с помощью РПр 9 принимают и расшифровывают эти команды, и с выхода РПр 9 расшифрованные команды управления подают в АП 10 для соответствующего отклонения рулей и элеронов БПЛА.
Источники информации
1. "Иностранная печать об экономическом, научно-техническом и военном потенциале государств - участников СНГ и технических средствах его выявления", серия "Технические средства разведывательных служб зарубежных государств" - М: Ежемесячный информационный бюллетень Всероссийского института научной и технической информации (ВИНИТИ), выпуск N 12, 2002 г., стр. 6-7.
2. "Дистанционно пилотируемые летательные аппараты капиталистических стран" (Обзор по материалам иностранной печати), под редакцией академика Е.А.Федосова, - Научно-информационный центр, 1989 г., стр. 90-96.
Формула изобретения
Способ управления полетом беспилотного летательного аппарата, который состоит в том, что на этот аппарат предварительно устанавливают автопилот и радиоприемник радиокомандной линии управления, а на наземной станции управления предварительно устанавливают вычислитель, шифратор и радиопередатчик команд управления, в память вычислителя предварительно вводят параметры программной траектории полета этого аппарата, в процессе полета этого аппарата в вычислителе определяют отклонение фактической траектории полета этого аппарата от его программной траектории и в соответствии с этим отклонением формируют команды управления для коррекции фактической траектории полета этого аппарата, которые шифруют в шифраторе и с помощью радиопередатчика команд управления передают на этот аппарат, где с помощью радиоприемника радиокомандной линии управления принимают эти команды, дешифрируют их и подают в автопилот для соответствующего отклонения рулей и элеронов этого аппарата, отличающийся тем, что предварительно на этом аппарате устанавливают приемник спутниковой системы навигации и радиопередатчик информации о текущих параметрах полета этого аппарата, а на этой станции предварительно устанавливают радиоприемник этой информации, также предварительно для каждого участка программной траектории этого аппарата в вычислителе вычисляют потребные значения углов Fп и п ориентации соответственно в горизонтальной и вертикальной плоскостях вектора
скорости этого аппарата и запоминают в вычислителе значения этих углов, в процессе полета этого аппарата с помощью приемника спутниковой навигации определяют значения географической широты ГШф, географической долготы ГДф и высоты Нф над уровнем моря точки Л фактического местоположения этого аппарата, а также значения проекций Vx, Vy, Vz вектора
на оси прямоугольной системы координат ЛХYZ, начало которой находится в точке Л, ось ЛХ направлена по касательной к географической параллели, проходящей через точку Л, ось ЛZ направлена по касательной к географическому меридиану, проходящему через эту точку, а ось ЛY направлена перпендикулярно плоскости ЛХZ, с помощью радиопередатчика информации о текущих параметрах полета этого аппарата передают значения ГШф, ГДф, Нф, Vx, Vy, Vz на эту станцию, где с помощью радиоприемника этой информации принимают эти значения и с выхода этого радиоприемника подают эти значения на соответствующий вход вычислителя, где с использованием их вычисляют фактические значения углов Fф и
ф ориентации соответственно в горизонтальной и вертикальной плоскостях вектора
, значения разности dF углов Fп и Fф и разности d
углов
п и
ф и формируют составляющие команд управления, пропорциональные соответственно значениям dF и d
.
РИСУНКИ
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/85/852713-s.jpg)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/85/852719-s.jpg)
![](https://img.poleznayamodel.ru/img_pat/85/852720-s.jpg)