Оптоэлектронное устройство для решения дифференциального параболического уравнения

 

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Расширение функциональных возможностей устройства за счет решения параболического уравнения типа Фоккера-Планка-Колмогорова достигается за счет введения тактового генератора, элемента задержки, фокусирующей цилиндрической линзы и матрицы оптических усилителей. 3 ил.

Изобретение относится к специализированной вычислительной технике и может быть использовано для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Известны устройства, позволяющие приближению решать пространственные параболические уравнения типа Лапласа на основе использования пары-преобразования Фурье [1] Недостатками данных устройств являются как принципиальная невозможность формирования точного решения из-за сингулярности (вырождения) передаточной функции пространственно-частотного фильтра в начале координат, так и невозможность решения пространственно-временных параболических уравнений типа Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) из-за наличия временной частотной производной, не реализуемой средствами пространственно-частотной фильтрации.

Наиболее близким по техническому исполнению к предложенному устройству является устройство для решения дифференциальных уравнений в частных производных [2] содержащее источник света, коллиматор, транспарант, блок управления, амплитудные модуляторы, матричный фотоприемник и разветвленный световод. Устройство позволяет формировать решение пространственного уравнения Лапласа на основе совместного использования конечно-разностной аппроксимации пространственных частных производных и итерационного метода Либмана.

Недостаток данного устройства невозможность решения пространственно-временного параболического уравнения типа ФПК, содержащего в отличие от уравнения Лапласа частную производную по времени, что не позволяет использовать подход, реализованный в прототипе.

Цель изобретения расширение функциональных возможностей устройства за счет решения параболического уравнения типа ФПК.

Цель достигается формированием решения уравнения ФПК в предложенном устройстве в виде рекуррентно-интегральной с нелинейным ядром последовательности решений для произвольного момента времени.

Решение уравнения ФПК дифференциального уравнения параболического типа [a(Y,t)(Y,t)]+ [b(Y,t)(Y,t)] (1) (Y,t_o) _o, для любого момента времени t может быть получено в виде рекуррентно-интегрального соотношения (Y_i,t) (Y_i-1,t)N(Y_i, Y_i-1, f, g, D, t)dY_i-1 (2) (Y_o,t) _o, i 0,1, сводящегося к решению (Y, t) при i _ Для рассматриваемого ниже случая решения одномерного уравнения (1) ядро интегральной рекурсии (2) имеет следующий вид: где M_o= Y(Y,t_o)dY
K_t= (Y-M_o)²(Y, t_o)dY+ D_sg²(Y_i-1, S)dS, (3) функции f(Y, t) и Dg(y, t) определяются коэффициентами уравнения ФПК с учетом известных соотношений (3):
a(Y,t) f(Y,t)+ g(Y,t)
b(Y, t) D_t ^. g² (Y, t).

На фиг. 1 представлена функциональная схема устройства.

Устройство состоит из источника 1 коллимированного излучения, транспаранта 2, световодного жгута 3, содержащего N разветвляющихся оптических волокон, коллимирующей цилиндрической линзы 4, управляемого транспаранта 5 (с переменной оптической плотностью), блока 6 управления транспарантом, тактового генератора 7, элемента 7₁ задержки, фокусирующей цилиндрической линзы 8, оптического усилителя 9, N фотоприемников 10.

Оптический транспарант 2 выполняет функции пространственного модулятора света и может быть выполнен, например, на основе фотопленки или фотопластинки со ступенчатыми изменениями коэффициента пропускания по оси OY_i-1. В пределах i-го участка, i транспаранта 2 коэффициент пропускания постоянен, а в целом функция изменения коэффициента пропускания по оси OY_i-1 является дискретным аналогом функции начального приближения уравнения (1).

Разветвление оптических волокон может быть выполнено с использованием неуправляемых направленных ответвителей.

Разветвление каждого оптического волокна жгута 3 осуществлено таким образом, что обеспечивается оптическая связь транспаранта 2 и оптического усилителя 9 с входом линзы 4 (слияние соответствующих пар волокон, идущих от транспаранта 2 и усилителя 9) и оптического усилителя 9 с входом фотоприемника 10 (разветвление каждого волокна, идущего от усилителя 9, на два к линзе 4 и фотоприемнику 10).

Источник 1 излучения через последовательно расположенные в направлении распространения светового потока транспарант 2, оптические волокна жгута 3, линзу 4, транспарант 5, линзу 8 оптически связан с N входами оптического усилителя 9. N выходов оптического усилителя 9 через соответствующие волокна световодного жгута 3 оптически связаны с линзой 4 и N входами фотоприемника 10, выходы которого являются выходом устройства.

Выход тактового генератора 7 через элемент 7₁ задержки подключен к входу управления источника 1 излучения и управляющему входу фотоприемника 10, а также подключен к входу блока 6 управления. N x N выходов блока 6 подключены к соответствующим ячейкам транспаранта 5. Управляемый (с переменной оптической плотностью) транспарант может быть выполнен в виде матрицы N x N электрооптических или жидкокристаллических модуляторов света. Управление каждым модулятором данной матрицы осуществляется раздельно сигналами с соответствующего выхода блока 6 управления.

Возможны следующие варианты исполнения блока управления.

При ограниченном времени работы конечном числе временных тактов работы устройства блок 6 может быть выполнен (фиг. 2) в виде последовательно соединенных счетчика 11 тактов, дешифратора 12, выходы которого подключены к входам считывания соответствующих матриц 13₁, 13_К постоянного запоминающего устройства. Выходы матриц 13_j, в которых записаны значения функции N (Y_i, Y_i-1, f, g, D, j), определенной во всей области изменения Y с заданным шагом квантования Y, подключены через К-входовый матричный элемент ИЛИ 14 к выходу блока 6. В счетчике 11 осуществляется отсчет текущего времени j решения уравнения.

Функция N (Y_i, Y_i-1, f, g, D, j) может быть представлена с требуемой точностью по временному аргументу j некоторым рядом:
N a_m(Y_i, Y_i-1, f, g, D)_m(j) где a_m заранее вычисленные постоянные коэффициенты для конкретных значений аргументовY_i, Y_i-1}
_m известные функции.

В этом случае вариант исполнения блока 6 управления представлен на фиг. 3.

Блок управления содержит М матриц 15_m постоянных коэффициентов a_m(Y_i, Y_i-1), выполненных, например, в виде источника эталонного напряжения и набора масштабирующих сопротивлений, выходы ячеек которых подключены к входам соответствующих умножителей, объединенных в М матриц 16_m, m К вторым входам всех умножителей матрицы 16_m подключен выход генератора 17_m функции _m (j), вход которого соединен с выходом накапливающего сумматора 18. Выход каждого умножителя матрицы 16_mподключен к одному из входов соответствующего многовходового сумматора, входящего в состав матричного сумматора 19. Вход сумматора 18, на выходе которого формируется значение текущего момента времени j, является входом блока 6, выход матричного сумматора 19 выходом блока 6.

В качестве генератора 17_m функций _m(j) могут быть использованы типовые функциональные преобразователи, реализующие степенные, показательные или тригонометрические функции. В качестве оптического усилителя может быть использован полупроводниковый инжекционный квантовый усилитель.

Работает устройство следующим образом.

Синхронизирующие импульсы с выхода тактового генератора 7 с заданной частотой поступают на вход блока 6 управления и через элемент 7₁ задержки на управляющие входы источника 1 излучения и фотоприемника 10. Время задержки в элементе 7₁ выбирается равным разности времен срабатывания блока 6 и управляемых элементов матрицы 5 и источника 1.

Частота тактового генератора 7 выбирается с учетом предельного времени перестройки (срабатывания) электрооптических элементов (модуляторов) матрицы 5. Работу устройства рассмотрим далее для некоторого произвольного момента времени решения j. Световой поток с выхода источника 1 излучения интенсивности I поступает на транспарант 2, где записана функция
(необходимость записи на транспаранты 2, 5 вместо функций (Y, t_o) и N(Y_i, Y_i-1, f, g, D, j) из радикальных преобразований -(Y, t_o) и N (Y_i, Y_i-1, f, g, D, j) вызвана тем, что при прохождении светового потока через транспарант на функцию пропускания транспаранта умножается амплитуда А потока, равная радикалу от его интенсивности 1 А ). Пройдя через транспарант 2, световой поток интенсивности I ^. (Y, t_o) через световод 3 поступает на линзу 4, на выходе которой формируется световой поток интенсивности (Y, t_o) вдоль условной оси OY_i-1, распределенный ("размноженный") также по оси OY_i. Площадь S поверхности коллимирующей линзы 4 выбирается исходя из области определения функций (Y) и N (Y_i, Y_i-1) (т. е. размеров транспарантов 2,5), величина интенсивности I из размеров линзы 4 по оси OY_i. Световой поток интенсивности (Y_o) ^.1(Y₁) (c амплитудой ^.1 (Y₁) с поверхности линзы 4, пройдя через транспарант 5 с функцией пропускания N (Y_i, Y_i-1, f, g, D, j), поступает на цилиндрическую линзу 8. Линзой 8 осуществляется интегрирование светового потока интенсивности (Y_o) ^.N(Y₁, Y_o, f, g, D, j) по условной оси аргумента OY_i-1. Далее световой поток интенсивности (Y₁,j)= (Y_o) ^.N(Y_1, Y_o, f, g, D, j) dY_o, распределенный по оси OY_i, поступает на входы оптического усилителя 9. Коэффициент усиления k усилителя 9 выбирается из условий уменьшения светового потока в m раз при отводе части потока на выходной фотоприемник 10, обеспечения на входе линзы 4 светового потока интенсивности I ^. (Y₁, j) и компенсации потерь затухания светового сигнала при его прохождении по световоду 3 k I ^{. -1 .} l ^. m, где коэффициент затухания на единицу длины световода ( < 1);
l длина световода 3 от усилителя 9 до линзы 4.

С выхода оптического усилителя 9 распределенный по оси OY_i световой поток через световод 3 поступает на линзу 4, будучи уже распределенным по оси OY_i-1 за счет специальной разводки жгута световода. Далее световой поток интенсивности I ^. (Y₁, j) поступает через линзу 4 на транспарант 5 путь прохождения оптического сигнала и соответствующие его функциональные преобразования многократно повторяются. Тем самым для данного временного такта работы устройства многократно интегрируется соотношение (2) реализуется рекуррентное решение уравнения ФПК для момента времени j. Число итераций n в промежутке Т между импульсами тактового генератора 7, определяющими изменение функций пропускания N (Y_i, Y_i-1, f, g, D, j), зависит от длины кольцевого тракта прохождения оптического сигнала L и скорости света c n
Очевидно, что число n при существующих характеристиках оптоэлектронных узлов достигает значительной величины, несоизмеримой с числом итераций, реализуемым при практическом использовании рекурсивных методов в настоящее время. Так, при Т 10^-3 с, L 0,1 м n 3 ^.10⁶. С выходного ответвления световода 3 (1 m^-1)-я часть оптического потока поступает на фотоприемник 10. На управляющие входы фотоприемника 10 поступают синхроимпульсы с выхода элемента 7₁, время срабатывания ₁₀фотоприемника выбирается равным Т (может быть достигнуто также введением соответствующего элемента задержки). В этом случае фотоприемник, срабатывая по истечении очередного интервала Т (но не позже), формирует на выходе сигнал, пропорциональный (Y, j). Коэффициент пропорциональности при этом равен k ^. l₁^{-1 .} (1 m^-1), где l₁ длина световода 3 от усилителя 9 до фотоприемника 10, и может быть сведен к единице выбором соответствующего коэффициента усиления фотоприемника 10. Далее работа устройства повторяется на выходе устройства формируется временная последовательность функций (Y, j), j 1, 2, решение уравнений ФПК в реальном масштабе времени.

Формула изобретения

ОПТОЭЛЕКТРОННОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, содержащее источник излучения, коллимирующую линзу, транспарант, сопряженный с первым ответвлением разветвленного световодного жгута, матрицу фотоприемников, блок управления, выходы которого подключены к управляющим входам управляемого транспаранта, отличающееся тем, что в него введены тактовый генератор, элемент задержки, фокусирующая цилиндрическая линза и матрица оптических усилителей, выходы которых через второе ответвление разветвленного световодного жгута соединены с информационными входами матрицы фотоприемников, а через третье ответвление, коллимирующую линзу, управляемый транспарант, фокусирующую цилиндрическую линзу с входами матрицы оптических усилителей, выход тактового генератора подключен к входу блока управления, а через элемент задержки к управляющим входам матрицы фотоприемников и источника излучения, оптически сопряженного через транспарант, первое ответвление разветвленного световодного жгута с коллимирующей линзой.

РИСУНКИ

Рисунок 1, Рисунок 2, Рисунок 3