Анализатор спектра фурье

 

Союз Советских

Соцналистннеских

Республик

ОПИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИ ЕТЕДЬСТВУ

<>800994 (61) Дополнительное н ввт.сеид-ву— (22) Заявлено 02. 04 ° 79 (21) 2739251/18-24

G 06 F 15j31 с присоединением заявки ¹вЂ”

Государствеииый комитет

СССР по делам изобретеиий и открытий (23) Приоритет—

Опубликовано 300181. Бюллетень ¹ 4

Дата опубликования описания 310181 (53) УДК 88. .14, (088.8I (72) Авторы изобретения

В.И.Горелик, А.А.Докучаев, В.A.Çåíöoâ . . м н (! .

1 :, )

"Г"

Ленинградский ордена Ленина электротех чес,й1 иж. им. В.И,Ульянова (Ленина) (71) Заявитель (54) АНАЛИЗАТОР СПЕКТРА ФУРЬЕ

25

Изобретение относится к информационно-измерительной и Bb числительной технике и может быть использовано для вычисления спектра Фурье и спектра в базисе кусочно-линейных треугольных функций, являющихся первообразными от функций Уолша.

Известно устройство для вычисления спектра Фурье, использующее обработку комплексных чисел, и, в частности, умножение одного комплексного числа на другое (1j .

Однако это отрицательно сказывается на скорости вычисления спектральных коэффициентов.

Известно устройство содержащее аналого-цифровой преобразователь (АЦП), цифровой сигнальный процессор Уолша, первое и второе запоминающее устройство (ЗУ), арифметическое устройство (АУ) и постоянное запоминающее устройство (ПЗУ) . Выход

АЦП соединен с входом цифрового сигнального процессора Уолша, выход которого соединен с входом первого

ЗУ. Выход этого Зу и выход ПЗУ соединены соответственно с первым и с вторым входом АУ, выход которого соединен с входом второто ЗУ. Аналоговый сигнал, подаваемый на вход АПП, квантуется во времени. Значс::п11 дискретных. сигналов в цифровой форме поступают на вход цифровогc с ãнального процессора Уолша,. который по этим значениям вычисляет c: åêòð уолша. Вычисленные 2" спектральных коэффициентов поступают на хранение в первое ЗУ. Затем коэф фициенты спектра Уолша преобразуются в коэффициенты спектра Фурье путем умножения коэффициентов спектра Уолша на специальную матрицу преобразования спектров, элементы которои хранятся в ПЗУ. Полученные таким образом 2" коэффициентов спектра Фурье отправляются на хранение во второе Зу (2).

Недостатком этого устройства явля ется низкая точность вычисления

I спектра Фурье, обусловленная аналитическими свойствами кусочно-постоянных функций Уолша. Вычисление спектра Уолша на основе преобразования

Уолша-Фурье связано с кусочно-постоянной интерполяцией входного сигнала конечной суммы Уолша. Поэтому для достижения требуемой точности вычисления спектра Фурье приходится уменьшать шаг квантования и получать большое число отсчетов входного сигнала для вычисления спектра уолша, 800Е04 что приводит к снижению быстродействия всего анализатора спектра Фурье.

Цель изобретения — увеличение точности вычисления спектра Фурье.

Поставленная цель достигается тем, что в анализатор спектра Фурье, содер>кащкй аналого-цифровой преобразователь, вход которого является входом анализатора, устройство вычисления спектра Уолша, выход которого соединен с первым входом первого арифметического блока, выход которого подключен ко вхоцу второго блока памяти, а второй вход первого арифметического блока соединен с выходом блока постоянной памяти, введен второй арифметический блок, вход которого соединен с выходом аналогоцифрового преобразователя, а выход второго арифметического блока соединен со входом устройства вычисления спектра Уолша.

В предлагаемом устройстве промежуточной спектр вычисляется не в базисе кусочно-постоянных функций Уолша, а в базисе кусочно-личейных функций, которые являются первообразными от фун)сц)лй

Уолша. Вычисление такого спектра можно производить по алгоритму быстрого преобразования Уолша.

Рассмотрим систему кусочно-линечных треугольных <оункций М*(х), полученных путем интегрирования функций

Уолша

Х

N pg {x) s л M,x) ) $$ (g) g< N) (P) g ()

0 и где сА 0,1,2,... N,N-2 -1, и наивысвн * . порядок данной совокупности <)>ун>,ий Уолша. Функции (1) образуют пс )ую систему линейнонезависимых фу) .>ий в пространстве С непрерывных 1)ун)>ций, т.е. являются в этом пространстве базисом.

Рассмотрим непрерывную на (0„1) функцию g(х), не имеющую постоянной составляющей g(0)-=О. Любую непрерывную функцию можно представить в виде Я()с) = (7(x) -g(O))+ f(O) =q()L)+f)O)> где g (х) не имеет постоянной составляющей, В дальнейшем это ограничение на исходную функцию будет снято.

Вычислим для функции g(x) правые односторонние конечно-разностные отношения на множестве равноотстоящих значений аргумента х; =16 при

0>1>2>...2 -1, )1=2 >g(х )=0

Применим к полученным отсчетам преобразование Уолша, которое обычно задается с помощью формул

N N и>:>и Г ии > ии)=L (и>(и„,).и)ии,.))и)„)и,), у, < и (х).,).=О * с).

Рассмотрим выра>кение для конечнои суммы 5„1(x), образованнои из приведений коэффициентов а, преобразования (3) и кусочно"-линейных функций

5>{ X) = 2, а М (V)

5 А=о с(д"

Для некоторой точки Х„ на основании определения (1) и равномерной сходимости ряда Уолша имеем

s„{x,)= >„)<(tHt=5 z Л(<)d<=gp,{<)+ сто *О * Оа;0 О

Разобьем интервал ).0,х„.) интeгри— рования íà i равных частей. На ка>кдом таком интервале (Х„.,X.+„) где

)$ i=0,1,..., i-1, значение конечной суммы с>(), (х) Уолша 5iB Ji5iFTc5i постоянным числом равныгл у. . Поэтому

S (Х.)=j> — ((X)+g(X )-фх)+., gjx ) с),{х. „)) 0, (Х)

Таким образом конечная сумела

S„ (x) ряда по функциям М (х) в произвольной точке X. совпадает с

1 значением исходной функции g(x) в этой же точке или, другими словами, 25 сумма S„(x) дает интерполяцию произвольной функции g(х) в базисе функций Ис)((х) достаточно применить алгоритм быстрого преобразования Уолша к разностям g(х„ „)-g(x.) исходной функции, так как множитель 2>5 в выражении (2 ) сокращается благодаря множителю 2 у каждого спектрального коэффициента Уолша.

Устраним теперь ограничение

9 (0)=0, введенное выше. Для этого заметим, что операция (2) над произвольной функцией g(x) с g(0)>-0 автоматически исключает постоянную составляющую из полученной функции

y„ . Введенная новая базисная система (1) дополнена внесистемной функцией И .(х)= 1, коэффициент при которой О =)э(()) для произвольной функции не может бысть вычислен по указанной методике.

45 Погрешность при кусочно-постоянной интерполяции равна

Б ),-" "Б,>р Ir (x)l

ХЕ.(.о,л) а при кусочно-линейной интерполяции равна

p+ c. " "Bv(> c|, (X)l й:5 Х Е О,Л)

Таким образом, выигрыш, получае5$ мый при использовании кусочно-линейной аппроксимации, оценивается выражением ))/ и

4 "2и Bvojg (X)l (л)

@ Хе(0,) Svj lg (x)l

Например, для функции g (х) =ь j и (yLx/2) на интервале (0,1) при 2 =128 участках интерполяции максимальная ошибка при кусочно-линейной аппрокси65 мации будет в ) =4-1282/Г= 326 раз

800994 (67 меньше, чем соответствующая ошибка при кусочно-постоянной интерполяции в базисе функций Уолша.

Установим связь между спектрами произвольной функции g(х), получен— ными в бааисе тригонометрических функций (базис Фурье) и в базисе кусочно-линейных функций М, (х).

Известно, что произвольный сигнал

g(х) х 6 (0,1) с конечной энергией можно представить на этом интервале в виде ряда Фурье фх)=с ii/2 L ic slnizldlxl+c cos(z<7>xi), О К 1l. 2К-4 2К с коэффициентами

С,= $q(x)d.х

О с = /г 5 g(x) зж(2кюйх, (5

2к-1

Я $ q(X) coS (2КЛ X)gX .

2к

С другой cTopoH6I и

q;(x)= K a<% (v), =ОО где коэффициенты а, определяются по (3).Подставляя (6) в (5), получаем

М (; = a+ $ Yi (х)с(х

o <=oo " O

М

С Я Е а $ М((Х)6п(2КЛх)Дх

*=ОО - О

М

С =VX ):, а М (х)сов(2к9Гх)ах, (f)

Д.=ОО )-О

Если ввести матричную форму соотношения спектров, обозначив

C=(C ), т=O,,„,,2„-,2 .,...,М, A={a ); 8=ос,o,...,2 -1

О = 2 $+ (х)со5(2ктх)с(х, m=2

Ов о е

=ó2 Ч (x) з1 п(2КТх) х, Tn=2к+

0 м (8)

I то С=В ° А. 9

В известном анализаторе вычисление спектра Фурье выполняется аналогичным способом: полученный на первом этапе спектр Уолша умножается на специальную матрицу преобразования спектров. Элементый этой матрицы являются ядрами Фурье соответствующих функций Уолша.

В предлагаемом анализаторе вектор

С спектральных коэффициентов Фурье находится путем перемножения вектора A коэффициентов разложения исходного аналогового сигнала в базисе

l5

65 кусочно-линЕйных фУнкЦий М,„(х ) на специальную матрицу В преобразования спектров, элементами которой являются ядра Фурье соответствующих кусочно-линейных функций М (х).

Па чертеже изображен анализатор спектра Фурье.

Анализатор содержит аналого-цифровой преобразователь 1, первый арифметический блок 2, устройство 3 вычисления спектра Уолша (цифровой сигнальный процессор Уолша) первый блок 4 памяти (с произвольной выборкой), блок 5 постоянной памяти, второй арифметический блок 6, второй блок 7 памяти (с произвольной выборкой).

Выход аналого-цифрового преобразователя 1 соединен со входом блока

6, выход которого соединен со входом цифрового сигнального процессоpd 3 Уолша, выход которого соединен со входом блока 4. Его выход и выход блока 5 соедине.ны со входами блока 2, выход которого соединен со входом блока 7.

Аналого-цифровой преобразователь выполняет квантование входного аналогового сигнала во времени и вырабатывает соответствующие цифровые коды.

Второй арифметическии блок 6 вычисления разностей вырабатывает значения в цифровой форме. В качестве такого блока может быть использован обычный сумматор.

Устройство для вычисления спектра

Уолша предназначено для вычисления спектральных коэффициентов в базисе

Уолша от функции, дискретные значения которой поступают на вход процессора.

Первый арифметический блок предназначен для выполнения операции перемножения вектора на матрицу, которая осуществляется с помощью устройства умножения и накапливающего сумматора.

В блоке 5 хранятся коэффициенты матрицы В преобразования спектров, предварительно вычисленные и записанные в это устройство.

Блоки 4 и 7 предназначены для хранения вычисленных коэффициентов Уолша и Фурье соответственно. Кроме того, первый блок памяти играет роль буфера между устройством вычисления спектра Уолша и арифметическим устройством, позволяя выполнять преобразовайие Уолша в устройстве и перемножение вектора .на матрицу в арифметическом блоке независимо друг от друга.

Анализатор работает следующим образом.

На вход аналого-цифрового преобразователя поступает аналоговый входной сигнал. Преобразователь 1 квантует сигнал во времени и последовательно во времени передает цифровые значения входного сигнала на вход

800994 блока 6, который выполняет вычисление разностей у(г,,i)- /(.с,).

Получаемые разности последовательно передаются с выхода блока 6 на вход устройства 3 вычисления спектра

Уолша, где они располагаются в памяти процессора. После окончания вычисления всех разностей устройство

3 начинает работу и по алгоритму быстрого преобразования Уолша вычисляет вектор спектральных коэффициентов. При этом предполагается, что устройство 3 имеет необходимую для организации итерационного BbpIHcJiH тельного процесса память.

Вычисленые устройством 3 коэффициенты поступают на хранение в блок 4. Таким образом память процессора освобождается и он может начать работу по обработке следующей выборки..

ТЕперь блок 2 производит вычисление спектральных клэффициентов Фурье путем перемножения вектора коэффициентов Уолша, находящегося в блоке

4, и специальной матрицы преобразования.спекторов, элементы которой наводятся в блоке 5.

Коэффициенты спектра Фурье по мере вычисления их блоком 2 заносятся в блок 7 памяти. Понятно, что при надлежащей балансировке скорости работы устройства 3 и блока 2 обеспечивается непрерывная циклическая работа прецлагаемой схемы анализатсра спектра Фурье.

Таким образом в предлагаемом анализаторе по сравнению с известным сохраняется основная идея метода вычисления спектра Фурье: выполнение предварительного спектрального преобразования Уолша, которое оперирует с вещественными числами и характеризуется значительной скоростью и отсутствием избыточности, и затем осуществление перехода к искомому спектру Фурье с помощью выполнения матричной операции. Однако эа счет незначительного усложнения известной.схемы — введения второго арифметического блока — удалось, практически не снижая быстродействия устроиства в целом, значительно уменьшить погрешность вычисления спектра Фурье, благодаря введению специальной системы кусочно-линейных базисных

5 функций, которые связаны с функциями Уолша .линейным интегральным оператором. Количественная оценка степени выиграша дается формулой (4).

Моделирование работы анализатора

1О íà ЦВМ для ряда аналоговых сигналов показало, что относительная ошибка вычисления дискретного спектра Фурье в несколько сот раз меньше ошибки, получаемой при использовании БНФ при одинаковом объеме выборки.

Формула изобретения

Анализатор спектра Фурье содержащии аналого-цифровой преобразователь, вход которого является входом анализатора, устройство вычисления спектра Уолша, выход которого соединен с первым входом первого арифметического блока, выход которого подключен ко входу второго блока памяти, а второй вход первого арифметического блока соединен с выходом блока постоянной памяти, о т л и3О ч а ю шийся тем, что, с целью повышения точности вычисления спектра, в него введен второй арифметический блок, вход которого соединен с выходом аналого-цифрового

Я преобразователя, а выход второго арифметического блока соединен со входом устройства вычисления спектра

Уолша.

Источники информации, принятые во внимание при зкспертиэе

1.Авторское свидетельство СССР

Р 598082, кл. G 06 F 15/3, 1976.

2,@ital R, Henri 7,Нафа F. Using а м1с45 Voproсееэог in а NgEsh — courier 5pectraE сваЕЗ2Я . ТЕЕЕ, Transactions on Computers, 1976, APriE, р, 27- 32 (nPOToTHn) 800994

Составитель A.Áàðàíîâ

Редактор С.Шевченко Техред A.Áàáèíåö Корректор Н.Швыдкая

Заказ 10430/65 Тираж 756 Поднисное

ВНИИПИ Государственного комитета СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д.4/5

Филиал ППП"Патент", г.ужгород,ул.Проектная,4