Устройство для решения двухмерного уравнения лапласа

 

Изобретение относится к математическим моделям. Устройство состоит из двух перфорированных плит. В перфорации перемещаются вертикальные стержни. Фиксаторы высоты размещены между двумя плитами. Гибкая (эластичная) сеть натянута между концами вертикальных стержней. Данное устройство позволяет наглядно решать двухмерное уравнение Лапласа. 4 ил., 2 табл.

Изобретение относится к математическим моделям, а именно к решению уравнений математической физики экспериментальными способами, в частности к решению двухмерного уравнения Лапласа где x, y - координаты на плоскости; z - искомая (высотная) координата.

Известно "Устройство для демонстрации линейчатых поверхностей" а.с 1377890, G 09 B 23/04. Данное устройство состоит из стержней, перпендикулярно закрепленных к основанию, и направляющих, лежащих в основании. Линейчатые поверхности образуются посредством натяжения гибких элементов между стержнями и направляющими.

Недостатком такого устройства являются: невысокая точность получаемых форм линейчатых поверхностей; ограниченная номенклатура получаемых поверхностей (только линейчатая); отсутствие гарантии перпендикулярности стержней к основанию; затрудненность измерения высоты в местах перекрещивания нитей (места перекрытия не зафиксированы); Известны различные способы экспериментального решения двухмерного уравнения Лапласа. Многие из них основаны на приложении электрического напряжения в заданных точках электролита или токопроводящей бумаги. Промежуточные значения искомой третьей координаты находят измерением напряжения в основных точках по мостовой схеме или компенсационным методам (Питлюк Д.А. Испытание строительных конструкций на моделях. 1971, 48-52 с).

Задачей изобретения является получение устройства, позволяющего наглядно решать двухмерное уравнение Лапласа.

Результат достигается тем, что в устройстве для решения двухмерного уравнения Лапласа, содержащем основание и установленные в нем перпендикулярно стержни с натянутыми между ними гибкими элементами, основание выполнено в виде двух отстоящих друг от друга перфорированных плит, на одной из которых с помощью фиксаторов закреплены стержни, а гибкие эластичные элементы связаны в сеть и натянуты на верхние концы этих стержней.

Суть устройства приведена на чертеже, где на фиг. 1 показан общий вид устройства: на фиг. 2 - варианты переплетения гибких эластичных нитей; на фиг. 3 - деталь закрепления вертикальных стержней в дополнительной плите; на фиг. 4 показан вариант получения другой поверхности - поверхности гиперболического параболоида, являющегося линейчатой поверхностью.

Эластичная гибкая сеть 1 натянута на верхушки вертикальных стержней 2, закрепленных перпендикулярно с помощью фиксаторов 3 на одной из перфорированных плит 4 основания и пропущенных через отверстия второй плиты с возможностью вертикального перемещения. Основание покоится на опорах 5.

Устройство для решения двухмерного уравнения Лапласа работает в следующем порядке (на примере постановки внутренней задачи Дирихле, когда известны краевые значения координат, необходимо найти внутренние): вертикальные стержни 2, выставляют (согласно требованиям задачи) на необходимую высоту; с помощью измерительного прибора (например, штангенциркуль с электронной индикацией) выверяют точность установки стержней 2 (при необходимости перезакрепляется); с помощью фиксатора 3 закрепляют на этой высоте; заранее изготовленную сеть 1 из гибкого эластичного материала натягивают на вертикальные стержни 2; с помощью высокоточного измерительного прибора замеряют высотные координаты во внутренних точках (перекрещениях сети) эластичной гибкой сети 1.

Примеры. Эксперимент N 1. Квадратная в основном модель (размером 400х400 мм) с вертикальными стержнями, меняющими высоту 0, 40, 80, 120, 160, 200, 160, 120, 80, 40, 0, 0 мм на каждой стороне квадрата.

В табл. 1 приведены значения z в средних характерных точках на 1/4 модели. Теоретические z получены решением дифуравнения Лапласа методом конечных разностей.

Эксперимент N 2. Квадратная в основании модель размером 480х480 мм с вертикальными стержнями, меняющими высоту 0, 51,72; 85,66; 108,7; 124,0; 132,9; 135,76; 132,9; 124,0; 108,7; 85,56; 51,72; 0 (по дуге окружности) на всех четырех сторонах. В табл. 2 приведены характерные точки (Z) модельные и теоретически на 1/4 модели.

Таким образом, предлагаемое изобретение довольно точно решает двухмерное уравнение Лапласа.

Технико-экономические преимущества данного устройства очевидны; простота работы, полная электробезопасность, дешевизна установки, т.к. не требуется энергии.

Формула изобретения

Устройство для решения двухмерного уравнения Лапласа, содержащее основание и измерительный прибор для измерения координат относительно основания, отличающееся тем, что оно снабжено фиксаторами, вертикальными стержнями и гибкими эластичными элементами, основание выполнено в виде двух отстоящих друг от друга перфорированных плит, а указанные стержни установлены перпендикулярно основанию с натянутыми между их верхними концами гибкими эластичными элементами, связанными в сеть, при этом на одной из указанных плит с помощью фиксаторов закреплены вертикальные стержни, пропущенные через отверстия второй плиты с возможностью их вертикального перемещения.

РИСУНКИ

Рисунок 1, Рисунок 2, Рисунок 3, Рисунок 4, Рисунок 5