Прибор для определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей

М 1470

Класс 42-b

ПАТЕНТ HA ИЗОБРЕТЕНИЕ

ОПИСАНИЕ прибора для определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей.

K патенту Ю. И. Ягна, заявленному 10 июля 1924 года (заяв. свид. Хе 78591).

0 выдаче патента опубликовано 31 июля 1926 года. Действие патента распространяется на 15 лет от 15 сентября 1924 r. — — 1эл-1 sin 2т ... (21) Предлагаемый прибор предназначается, главным образом, для педагогических и научных лабораторий и для исследований различных типов профилей и имеет целью механическое определение моментов инерций плоской фигуры при переходе от одних центральных коорди- натных осей по фигуре к другим осям,; поворотным относительно первоначальных на некоторый угол, а также определение положения главных осей инер- ции и величину главных моментов, инерции.

На фиг. 1 изображен прибор для, преобразования моментов инерции и лю- бым осям, на фиг. 2 †приб для опре- деления главных моментов инерции и на фиг. 3 — 8 пояснения отсчета. (Поворачивая координатные оси так, чтобы центральный момент относительно них обратился в нуль, получаются на приборе отсчеты, дающие угол поворота главных осей инерции и величины главных моментов инерции. Чтобы воспользоваться прибором, необходимо знать моменты инерции и центробежный момент относительно начальных осей.

Вместо центробежного момента может быть задан момент инерции относитель- . но оси, составляющий с начальными осями угол в 45 . Начальные моменты могут быть получены аналитически, графически или же определены механически с помощью интеграторов известных систем (Амслер, Коради и др,).

Формулы преобразования моментов инерции и центробежного момента следующие (фиг. 3):

Ix — - Ii lë. — Ii

1-i 4- - — cos 2а—

2 — Px» sin 2а... (1)

Li. —, - I1I I.» — Ii

1У = — — - — — — — сов 2а —:—

2 2

1 .гу sin 2я... (2)

Li — Iy

Pl i 11- —— sin 2м-, 2

-+ 1 .ii cos 2я... (31

Складывая и вычитая (1) и (2) и деля результат на два, получается:

Li) - - 1», Iл. -",— 1»

2 = — — — - -"-- Const ...... (1 )

lx, — - 1у, 1л — I» — — — сов 2а—

2 2

1x — 1у если Р.)>у и — — — — известны

Для эгого надо в некоторой прямо- угольной координатной системе Определить точку с координатами

/з — 11

Рх v u

1 1

2 и затем повернуть оси на угол 2а. Координаты той же точки в повернутой, системе будут искомыми величинами

1х, — 111

1 .Рх, v) и — — ——

2 ! .=.>та точка названа буквою 1. 1

11 — Ж

Построение величин Рх>у1 и

2 показано на фиг. 5. Имея на фиг. 5 полуразность искомых моментов инер- ции lх, и 1) Д можно определить каж- дый из пих в отдельности, так как j

1.11 — 111 полусумма их известна

/х--/г

- -;-- — = — const. Откладывая полуО

Уравнение (3) сохраняется без изменения

11: — Iy

Рх)у) =- — — з) п 2а - —

2

- - Р.1) cos 2 2 .... (3)

Уравнение (2 ) и (3) можно рассматри- вать как формулы преобразования ко- i ординат при повороте осей на угол 2а, причем абсциссами точки /> старой и новой координатной системы будут центро- бе>кные моменты Рху и Рх) ) „а орди1 натами полуразности моментов инерции

1х — 1) 1х) — 1) — — — и — 1 — - . Координатные

2 2 осп, к которым относится это преобразование, обозначены через и и и (фиг, 4).

Формулы преобразования: п)=и cos 2а+v з)п 2ã.. (4), 1= о cos 2а — и sin 2а... (5)

Из сравнения (2 ) с (5) и (3) с (4) находят и === Рх у, п =- Р.).1 у1, 1г — 11/ 11 — - /1 1

2 2

Отсюда получается правило для поlг, — 1г, слоения величин Рх).1 1 и сумму их по осп г) в одну и в другую сторону от начала координата, полу)аются отрезки 5 D = — Ix u S С=-111 (фиг. 5).

Точка С и D при вращении осей

О, !., оп и ш ет окружность радиуса

1.1: /1

2 с центром в начале координат О, (фиг. 6).

Когда круг построен для определеHHH величин 11 1) lpI H Рх1у1 для л)Обых осей надо только опустить перпендикуляр из точки 1 на ось О, Р,.

Длина этого перпендикуляра дает центробежный момент Рх))1, а отрезки, на которые основание перпендикуляра разделит диаметр круга, совпадающий с осью 0 „определяет моменты инерции /1., и 111, при чем момент 1х, отложится от основания перпендикуляра 51 в отрицательном направлении оси О VI а момент /),— в положительном направлении ее. Знак центробе>кного момента и полуразности моментов инерции определяется по аправлешпо координатных осей.

Для определения величины главных моментов инерции и положения таковых Осей инерции Л 01 У0, для которых Рх) -=- О, следует провести диаметр круга через точку Т и принять его за ось О, „. Точка 1 поделит этот диаметр на отрезки, определяющие величину главных момен foB инерции, при чем отрезок, который отложится в положительном направлении оси О> „, определит момент Iyo, а другой отрезок момент l)o.

Угол поворота осей Ui) О, !. относительно осей 1/ О оудет равен двойному углу поворота главных осей на фигуре .",) О > 0 по отношению к начальным осям Л О 1, Геометрическое построение главных моментов инерции показано на фиг. 7. Изложенный способ графического представления изменений моментов инерции в несколько ином виде был предложен проф. Л/о/и- о.)ь

Предлагаемый прибор вьп)олняет механически изложенное графическое построение.

Устройство прибора может быть или проще или сложнее, в зависимости от требований. На фиг. 1 представлен вариантт устройства прибора, приспособленного к преобразованию моментов к лю-, бым осям. Эту схему можно упростить, если назначить прибор исключительно для определения главных моментов инерции. Такое устройство показано на эскизной фиг. 2. В том и другом случае возможно упрощение или усложнение в зависимости от степени точности, которую желают получить от прибора.

Устройство прибора, представленное, на фиг. 1, состоит в следующем: (В железной цилиндрической коробке Ь, укреплен вращающийся медный дискА.

На верхнем краю цилиндра В укреплен лимб «., на котором нанесена шкала с деления1«и в 2, причем цифры шкалы поставлены так, что два градуса принимаются за один, т. е. отсчет по шкале дает половину y«.r«a поворота диска.

На краю диска нанесен верпьер с делениями 6 на >- основной шкалы, т. е. деление верпьера определяет so . «

На диске А прочерчень«центральные прямоугольные оси U««Ги круг (D=20 c».),, отделяющий внешнее кольцо, на котором,. располо>кены верпьеры от внутренней рабочей части плоскости диска. Диаметры, круга, совпадающие с осями U и V, разделены каждый на 100 частей.

Через деления проведены перпенди-, кулярные прямые, покрывающие всю внутреннюю площадь диска сетью ква- дратов (при диаметре круга = 200 м.». каждый квадрат будет размером, 2;", 2 м. м.).

Около каждой прямой, соответствую-, щей делению диаметра, кратному Г, ста-, В>«тся цифоы (о, >, 1«>, I и т. д), причем цифра повгоряется вдоль прямой, через ка>кдые пять делений, отсекаемых на ней перпендикулярными прямыми, т. е. через каждые пять квадратиков. Нумерация прямых, перпендикулярных оси, Г ведется от нуля у верхнего конца диаметра и до ста у нижнего конца.

Нумерации прямых, перпендикулярных оси U, ведется от нуля у ценгра в обе сторны до ;О у концов диаметра.

Для того чтобы глаз мог легче ориентироваться в нумерации на круге изготовляющегося прибора, цифры вдоль оси « ! пишутся черной краской (на фиг. 1 чертежа черные, горизонтальные) цифры, идущие в положительную сторону оси

U красной (на фиг. 1 черте>ка черные., вертикальные), а в отрицательную сторону синей (на фиг. 1 чертежа тоже, черные вертикальные) краской.

Все цифры ставятся по одну (правую) сторону от линии, к которой они относятся.

Зная моменты инерции Ул и Л относительно некоторых перпендикулярных осей и центробежный момент Рп для тех же осей, можно по сумме моментов инерции Л:-.- 1«, приравнивая ее диаметру, т. е. r oo, определить масштаб и найти на круге точку Т по величине 1з и Р т, как это показано на фиг. 8. Если теперь, остявляя точку Т неподви>кной, повернуть диск с координатной сеткой и прочесть новые отсчеты в точке Т, то получится момент инерции Л «и центробежный момент Рх«у, в новой координатной системе, угол поворота которой покажет шкала лимба.

Момент инерции Jx, будет найден, как дополнение величины момента Ь «до r oo.

Таким образом, вращая диск, можно перейти к любым новым осям.

Для ог«ределения главных осей инерции н главных моментов инерции надо повернуть координатную сетку так, чтобы ось V прошла через точку I.

Тогда отсчет по лимбу даст угол поворота главных осей, а отсчеты «о сетке круга в точке Т дадут по оси (1 центробежный момент Р«ohio=() и по оси 1— главный момент инерции Ivr» Другой главный момент инерции li найдется по формуле lх, =- 100 — 1 „. Для определения точки 7 и для производства в ней отсчетов после поворота диска служит стеклышко 0 с двумя пересекающимися нарезками. Стеклышко передвигается по направляющим Е, которые в свою очередь двигаются по брускам

F u G. Для уменьшения параллакса глаза между стеклом и плос«ъость«0 д««ска оставляется лишь небольшой зазор.

Вращение диска производится с помощью рукоятки Л с конической зубчатой передачей. Z.

Вследствие аналогии между формулами преобразования для моментов инерции и формулами преобразования для напряжений при плоском напряженном состоянии, кругом инерции можно пользоваться для изучения изменений напряжени!! в некоторой точке при главных напряжениях одного знака. В случае главных напряжений разных знаков точка

Т выйдет за пределы круга и потому, для применения прибора к изучению, этого случая напряженного состояния, пришлось бы устроить еще внешшою координатную сетку.

Из побочных применений круга инерпии (представленного на фиг. 1) можно указать следующее: определение сину- сов и косинусов углов (с точностью до единицы в третьем знаке); решение не- которых случаев прямоугольных и косо-;: угольных треугольников; преобразование прямоугольных координат точки, при повороте оси.

На практике приходится преимуще-, ственно определять главные моменты инерции. Поэтому дан другой вариант устройства прибора, при котором он при- I способлен исключительно для этой цели.

Этот вариант прибора представлен на фиг. 2. Вращающийся диск здесь заменен врагцаюгцейся линейкой. Вместо координатной сетки имеется одна шкала, соответствующая диаметру круга V.

В отличие от 1-го варианта ось V здесь расположена горизонтально. Определение положения точки Т делается с помощью отдельных неподвижных шкал, нанесенных на брусках, по которым движутся салазки и визирное стеклышко.

Центробежныймомент относительноначальной координатной системы определяется по шкалам ЛХ и Г, момент инер- ции 1у по шкале О. !!1кала О не обя- зательна, так как вместо нее можно поль- зоваться шкалой на подви>кной линейке, когда она занимает нулевое положение.

Когда точка Т определена, надо повернуть линейку так, как чтобы линия шкалы подошла в точку У; т. е. Под пересе-, чение нарезок на стекле и тогда отсчетом; по шкале будет определен главный момент инерции /у, а разность 100 — >у, I даст другой главный момент инерци lx,.

Угол поворота главных координатных осей относительно начальных определяется отсчетом по лимбу, который устраивается одинаково как в одном. так и в другом варианте прибора.

Приспособление для вращения шкалы здесь проще, чем в 1-ом варианте.

Вместо рукоятки с зубчатой передачей устроены небольшие ручки Р и Ii y самой линейки и на случай, когда они могут быть загорожены брусками, по которым движется визирное стекло, такие же ручки устроены на концах особых рычажков S u g. Такое приспособление для вращения линейки хуже и потому в случае, когда желательно получить от прибора большую точносп показаний, лучше применить зубчатую или червячную передачу, или же наводящие винты, подобно тому как это делается в топографических угломерных приборах.

ПРЕДМЕТ ПЛТЕНТЛ.

1. Прибор дла определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей, характеризующийся тем, что он состоит из поворотного при посредстве передачи E L диска А несущего на своей поверхности координатную сетку, снабженную нониусами, и окруженного разделенными на равные части лимбом С, лежащим на пилиндридрической коробке В, окруженной деревянным прямоугольной формы ящиком, несущим бруски Г и С, по которым движутся направляющие .Е ползуна, снабженного стеклом D с нанесенными на нем двумя взаимно - перпендикулярными линиями (фиг. 1).

2. Видоизменение, охарактеризованного в п. 1 прибора, отличиющееся: а) заменой поворотного диска А поворотной же линейкой . 1> с делениями, снабженной ручками Р и A и рычажками

О и S, и б) снабжением как брусков

F и, так н направляющих Е делениями (фиг. 21.